(2)ガンマ関数

Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)e^-tdt x>0

この無限積分をｘの関数とみてガンマ関数Γ(x)といいます．

Γ(1)=∫(0,∞)e^-tdt=1

Γ(1/2)＝∫(0,∞)t^(-1/2)e^-tdt

　ここで，t=u^2とおくと∫(0,∞)e^-u2/2du=√π/2（ガウス積分）より

　　Γ(1/2)＝√π

が得られます．

　オイラーの第２種積分とも呼ばれるガンマ関数Γ（ｘ）には，Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．

　　Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････

したがって，ｘが正の整数ｎのときには，

　　Γ（ｎ＋１）＝ｎ！

が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．階乗の解析的補間をしている関数がガンマ関数なのです．

（ガンマ関数と超球との関係）

ガウス積分をｎ次元に拡張し，

I=∫(-∞,∞)exp(-x1^2+x2^2+･･･+xn^2)dx1dx2･･･dxn

を考えると∫(-∞,∞)exp(-x2)dx=√πのｎ重積分より，直ちに

　　I=π^(n/2)

を得ることができます．

　n次元ガウス積分を別の方法，直交座標でなく，極座標で求めてみましょう．

球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x12+x22+･･･+xn2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．また，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はｖnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1となります．

　ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r^2)をとり，表面積はｎＶnｒ^n-1ですから，

I=∫(0,∞)exp(-r2)ｎＶnｒ^n-1dr=ｎＶn∫(0,∞)r^(n-1)exp(-r2)dr

z=r2と変数変換するとdz=2rdrより

I=ｎＶn/2∫(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz

=Ｖnn/2Γ(n/2) n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)

=ＶnΓ(n/2+1)

　したがって，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)　　　ｒn=

を得ることができます．この結果は，形式的にＶn=π^(n/2)/(n/2)！と書くことができます． Γ(m+1)=m!

これより，半径ｒのｎ次元超球の超体積はＶnｒn=(πr2)^(n/2)/Γ(n/2+1)となります．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．

ｎ　　１次元 ２次元 ３次元　４次元　５次元　　６次元

Ｖn　　２ 　 3.14 4.19 　 4.93 5.263 5.167

ｎ　　７次元 ８次元 ９次元　１０次元

　　 4.72 　 4.06　　 3.30 　　2.55

（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）

　Ｖn-1がわかればＶnは漸化式：

Ｖn/Ｖn-1=Γ（1／２）Γ｛（ｎ+１）／２｝／Γ（ｎ／２+1）=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

ｎが奇数であればＶn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

ｎが偶数であればＶn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．

　ｎ→∞のとき

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０，Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

　また，このことから，ｎ次元単位超立方体[-1,1]^nにおいて，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．高次元において，超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分のデータは超球外に位置することになります．

　なお，比Ｖn-1/Ｖn-2=B(1/2,n/2)は自由度ｎのｔ分布の定数であり，実際，フィッシャーはｎ個の観測値の標本平均と母平均の差（距離）を標本標準偏差で割った統計量ｔの分布をｎ次元ユークリッド空間を使って導きだしています．

【補】ウォリスの公式

1/2B(1/2,(n+1)/2)=∫(0-π/2)(sinθ)^ndθ

この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式

　　Ｓn=(n-1)/nＳn-2

が得られますから，

n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2

n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)

　これより，ｌｉｍ1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*√(k)=1/√(π)

変形するとウォリスの公式

　　(2n)!/(2^nn!)^2√(n)=1/√(π)

が得られる．

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