(1)ガウス積分

　正規分布は一般的な誤差の分布関数で，その確率密度関数，累積分布関数それぞれ

f(x)=1/√2πexp(-x^2/2)=φ(x)

F(x)=∫(-∞,x)f(t)dt=Φ(x)

と表されます．ここでは，正規分布の累積分布関数Φ(x)に関連して，

I=∫(0,∞)exp(-x^2)dx

の値を計算してみます．

　ケルビン卿の銘言に「数学者とは

　　∫(-∞,∞)exp(-x2)dx=√π

を１＋１＝２のように自明だと思っている人である」とあります．

　われわれは数学者ではないですが，以下のように極座標を用いることによって，簡単に数学者になることができます．

I^2=∫(0,∞)exp(-x2)dx∫(0,∞)exp(-y2)dy（２重積分）

=∫(0,π/2)int(0,∞)exp(-r2)rdrdθ（極座標変換）

より，結局，I=√π/2となります．

　以前より，どうして正規分布に円周率πが現れるか疑問視しておられた方も多いと思いますが，極座標に変換することによって，πが自然に入り込んできます．また，ここでは２重積分を用いてガウス積分を解きましたが，複素積分を用いると，もっと直接的に角度と関係していることが理解されます．ともあれ，πは幾何のみならず，統計にも使われることになります．

　また，上式において，x^2=tとおくと，ガウス積分とガンマ関数との面白い関係

　　√π=2I=2∫(0,∞)exp(-x2)dx=∫(0,∞)exp(-t)/√tdt=Γ(1/2)

も得られます．

　なお，逆関数Φ-1(x)については

∫(0,1)Φ-1(x)dx=0

∫(0,1)[Φ-1(x)]^2dx=1

∫(0,1)xΦ-1(x)dx=1/(2√π)

が成り立ちます．

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