【２】ベータ関数族と３の分割

　ベータ関数族は，自然科学や工学の諸分野（とくに確率分布）で用いられる特殊関数です．これらの関数の有限体における類似物はヤコビ和，ガウス和と呼ばれ，整数論において重要な役割を果たしています．

　ベータ関数，ガンマ関数，ガウス積分を列挙すれば

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

　　Γ(a)=∫(0,∞)t^(a-1)exp(-t)dt x>0

　　∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=√π

となりますが，ベータ関数は２個のベキ関数の積を被積分関数にもち，ガンマ関数では(1-t)^(b-1)がexp(-t)に変わり，さらにガウス積分ではt^(a-1)もなくなり，指数関数の引数が２次式に変わっています．

　ベータ関数から極限操作

　　（１−εｔ）^1/ε→ｅｘｐ（−ｔ）　　　ε→０

によってガンマ関数を得ることができ，さらにガンマ関数からガウス積分も得られるのです．そして，ベータ関数，ガンマ関数，ガウス積分にはそれぞれ３の分割１＋１＋１，２＋１，３が対応しているのですが，ベータ関数族の背後に３の分割が隠れているというわけです．

関数　　　　　　　分割　　　　　　分割の長さ　　パラメータ数

ベータ　　　（１，１，１）　　　　　　３　　　　　　　２　

ガンマ　　　（２，１）　　　　　　　　２　　　　　　　１

ガウス　　　（３）　　　　　　　　　　１　　　　　　　０

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