【１】ベータ関数族

［１］ガウス積分

　正規分布は一般的な誤差の分布関数で，その確率密度関数，累積分布関数はそれぞれ

　　f(x)=1/√2πexp(-x^2/2)=φ(x)

　　F(x)=∫(-∞,x)f(t)dt=Φ(x)

と表されます．ここでは，正規分布の累積分布関数Φ(x)に関連して，

　　I=∫(0,∞)exp(-x^2)dx

の値を計算してみます．

　ケルビン卿の銘言に「数学者とは

　　∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=√π

を１＋１＝２のように自明だと思っている人である」とあります．われわれは数学者ではありませんが，極座標を用いることによって簡単に数学者になることができます．

　　I^2=∫(0,∞)exp(-x^2)dx∫(0,∞)exp(-y^2)dy（２重積分）

　　 =∫(0,π/2)int(0,∞)exp(-r^2)rdrdθ（極座標変換）

より，結局，I=√π/2となります．

　以前よりどうして正規分布に円周率πが現れるか疑問視しておられた方も多いと思いますが，極座標に変換することによって，πが自然に入り込んできます．また，ここでは２重積分を用いてガウス積分を解きましたが，複素積分を用いると，もっと直接的に角度と関係していることが理解されます．ともあれ，πは幾何のみならず，統計にも使われることになります．

　また，x^2=tとおくと，ガウス積分とガンマ関数との面白い関係

　　√π=2I=2∫(0,∞)exp(-x^2)dx=∫(0,∞)exp(-t)/√tdt=Γ(1/2)

も得られます．

［２］ガンマ関数

　　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt (x>0)

この無限積分をｘの関数とみてガンマ関数Γ(x)といいます．

　　Γ(1)=∫(0,∞)exp(-t)dt=1

　　Γ(1/2)＝∫(0,∞)t^(-1/2)exp(-t)dt

ここでt=u^2とおくと，∫(0,∞)exp(-u^2)/2du=√π/2（ガウス積分）より

　　Γ(1/2)＝√π

が得られます．

　オイラーの第２種積分とも呼ばれるガンマ関数Γ（ｘ）には，Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．

　　Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････

したがって，ｘが正の整数ｎのときにはΓ（ｎ＋１）＝ｎ！が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．階乗の解析的補間をしている関数がガンマ関数なのです．

［３］ベータ関数

　ベータ関数（オイラーの第１種積分）は，

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt (t:0-1)

によって定義されます．ここで，積分変数をｔからu=(1-t)/tによってuに変えると，

　　B(a,b)=∫(0,∞)u^(a-1)/(1+u)^(a+b)du (u:0-∞)

が得られます．

　ベータ関数とガンマ関数との間には

　　B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)

の関係がありますから，ベータ関数はガンマ関数の兄弟分にあたります．たとえば，Γ(1/2)＝√πを得るにはベータ関数が用いられます．

　この関数において，t=sin^2θとおくとdt=2sinθcosθdθですから

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ

ここで，a=1/2,b=1/2とすると

　　B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π

　　Γ^2(1/2)/Γ(1)=π

Γ(1)=1ですから，Γ(1/2)＝√πとなります．

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