ｘ＞0に対するΓ(x)の最小値はx=1.461321449のとき最小値0.8856031944をとる

Γ(1/2)=√π=1.7724538509

Γ(1/3)=2.6789385347

Γ(1/4)=3.625609907

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レムニスケート定数

ω＝Γ(1/4)^2/4√2π=1.31102877714605990523

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R^nの単位球の体積は

Vn=(π/2)^n/Γ(n/2+1)=(π/2)^n/(n/2)!である。

整数ｎではｎ＝5のとき、この値は最大値V5=8π^2/15=5.26378901・・・となる。以後は減少する。

次元を整数に限らなければ5.256次元で最大となり、そのときの体積は5.277768である。

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　円周の長さは２πｒ，球の表面積は４πｒ^2で与えられます．このことから，４次元超球の表面積は６πｒ^3あるいは８πｒ^3で与えられると勘違いしてしまいそうですが，これは大きな誤りです．

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　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．

　ｎ次元単位球の体積は，ガンマ関数を用いて

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

で表すことができます．

　この結果は，形式的に

　　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)！

と書くことができます． Γ(m+1)=m!

　これより、半径ｒのｎ次元超球の超体積は

　　Ｖnｒ^n=(πr2)^(n/2)/Γ(n/2+1)

となります．

　また，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn、半径ｒのｎ次元球の体積はｖnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1となります．

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　ｎ＝４の場合，Ｖ4＝π^2/２！より，４次元超球の表面積は

　ｎＶnｒ^n-1＝４Ｖ4ｒ^3＝２π^2ｒ^3

　R^nの単位球のｎ-1次元表面積が最大となるのはｎ＝７の場合で、Ａ7＝16π^3/１５

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