f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)

のとき，弧長積分

　　sin^(-1)z=∫(0,z)f(x)dx

であるから，

　　2∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π

　　∫(0,1)f(x)dx=π/2

となる．それでは，

　　f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)

としたとき，弧長積分

　　∫(0,1)f(x)dx=1.311028･･･=ω/2

は，どのようにすれば得られるのでしょうか？

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　ベータ関数において，a=m/n,b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，

　　∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）

したがって，

　(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

　(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

が得られます．

　　∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

は初等的にも得ることができます．一方，

　　∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　　∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

は，特別な数と楕円積分を関係づけるものになっています．

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　Γ（１／２）＝√π＝１．７７２４５３８５０９・・・

　Γ（１／３）＝２．６７８９３８５３４７・・・

　Γ（１／４）＝３．６２５６０９９０７・・・

πとΓ（１／３）は代数的に独立であることが示されている．Γ（１／４）は超越数である．ワイエルシュトラス積に関連して現れる

　　２^5/4・π^1/2・ｅｘｐ（π／８）／Γ^2（１／４）

はπ，ｅｘｐ（π），Γ（１／４）が代数的に独立であることを示す手段となり得るかもしれない．

　Γ（１）＝１

　Γ（２）＝１

Γ（ｘ）はｘ＝１．４６１６３２１４４９のとき，最小値０．８８５６０３１９４４・・・をとる．

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