階乗関数は

　　（ｎ＋１）！＝（ｎ＋１）・ｎ！

で再帰的に計算できる．

　　１！＝１

　　２！＝２・１＝２

　　３！＝３・２・１＝６

　　４！＝４・３・２・１＝２４

　オイラーはこれを正の実数にまで拡張できないかと考えた．

　　ｆ（ｘ＋１）＝ｘ・ｆ（ｘ）

　階乗の解析的補間には多くの候補があるが，結果として得られる関数が「よい性質」を持つようにしたい．よい性質として，関数ｌｏｇｆ（ｘ）が凸関数になるという条件を付加すると，ガンマ関数が

　　ｆ（ｘ＋１）＝ｘ・ｆ（ｘ）

を満たす唯一の関数であるというのが，ボーア・モレルップの定理である．

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　実際，ガンマ関数はｘ＞０において，ｘ＝１．４６１３２１・・・のとき，最小値０．８８５６０３・・・をとる．

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