【３】ガウスの超幾何関数

　ガウスは１８１２年に超幾何級数

　　Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝１＋αβ／γｘ＋１／２！α（α＋１）β（β＋１）／γ（γ＋１）ｘ２＋１／３！α（α＋１）（α＋２）β（β＋１）（β＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ３＋・・・

について非常に詳細な研究を行っていたことで知られています．この形の超幾何関数はガウスの超幾何関数と呼ばれ，

　　2F1(α，β；γ；ｘ）

で表されます．

　関数の記号に大文字のＦを用いている理由は，超幾何微分方程式はフックス型方程式の代表例といってもよいものであって，フックスにちなんでその頭文字Ｆを採用したためです．また，２と１はその解であるガウスの超幾何関数の上部パラメータ，下部パラメータの数を表しています．上部パラメータα，βの少なくとも一方の値が負の整数の場合には，ガウスの超幾何関数は有限級数になります．また，上部パラメータ，下部パラメータともに１つの場合が合流型（クンマー型）超幾何関数です．上部パラメータの数ｐ，下部パラメータの数ｑを変えることによって，一般の場合の超幾何関数pＦqに拡張することができます．一般に，F(x)=Σａnｘnとおくと，ａ0=1で連続する２項の係数比ａn+1/ａnが定数となる関数を超幾何関数と呼びます．

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　ベータ関数やガンマ関数は積分で定義されていましたが，ガウスのの超幾何関数のｚの値は，

　　2Ｆ1(α，β；γ：ｚ）＝Γ（γ）／Γ（α）Γ（γ−α）∫(0,1)t^(α-1)(1-t)^(γ-α-1)(1-zt)^(-β)dt

というオイラーの積分表示が知られています．

　　(1-xt)^(-β)

を２項定理を用いて展開すると

　　(1-xt)^(-β)＝Σ(-β,n)(-xt)^n=Σ[β]/n!(xt)^n

が得られます．これとベータ関数

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

を組み合わせることで，オイラーの積分表示が示されます．

　ここで，

　　ω（ｔ，ｚ）＝ｔ^(α-1)（１−ｔ）^(γ-α-1)（１−ｚｔ）^(-β)

とおくと

　　Ｆ(α，β；γ：ｚ）∫(0,1)ω（ｔ，０）ｄｔ＝∫(0,1)ω（ｔ，ｚ）ｄｔ

　　ただし，∫(0,1)ω（ｔ，０）ｄｔはベータ関数Ｂ（α，γ−α）

となり，超幾何関数のｚでの値はアーベル積分の商の形で書くことができます．

　シュワルツ写像は超幾何微分方程式の２つの線形独立な解の比として定義されましたが，２つの超幾何積分の比としても表されます．この意味でシュワルツ写像は楕円曲線族の周期写像とみなすことができるのですが，この式において積分記号は周期を表していて，ｚ＝αが特異モジュールならば対応する周期の商も代数的数になるのです．

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　被積分関数

　　ω（ｔ，ｚ）＝ｔ^(α-1)（１−ｔ）^(γ-α-1)（１−ｚｔ）^(-β)

はｔの１次式の積で，１次式の零点はｔ＝０，１，１／ｚですが，これにｔ＝∞もつけ加えて考えます．

　被積分関数は超幾何関数の挙動を規定する本質的な関数で，射影直線Ｐ^1上に４個の分岐点：０，１，１／ｚ，∞をもつ多価関数となっています．積分路としてはこの４点のうち２点を選びだしてそれらを結ぶ曲線をとるのですが，積分の端点（０，１）は４個の分岐点のうち２個を選んだものになっています．この意味でガウスの超幾何関数には４の分解１＋１＋１＋１が対応しています．

　直線上の４点の複比は射影によって不変ですから，これにより，射影直線Ｐ^1上の相異なる４点のなす配位空間，すなわち，複比の空間とみなすことができるのですが，シュワルツは４点のなす配位空間の一意化を与えたことになるのです．

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