次に，２次元ランダムウォークの母関数はどう表されるでしょうか？　２次元酔歩では，２項係数に関する公式

　　ΣnＣknＣn-k＝Σ（nＣk）^2＝2nＣn

が成り立つので，

　　ｕ2n＝１／４^(2n)（2nＣn）^2

と表されます．

　同様に，ｕnの母関数を

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝｛2nＣn／２^(2n)｝^2ですから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)^2/(n+1)*t^2/(n+1)

　これより，級数Ｕ（ｔ）はガウス型超幾何級数2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝2Ｆ1(1/2,1/2,1,t^2)＝2/πＫ（ｔ）

より第１種楕円積分と関係しているというわけです．

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