ランダムウォークの再帰性の問題を取り上げましょう．左右に１ステップだけ確率1/2で移動し、2ｎステップ後に原点に戻る１次元酔歩の原点復帰確率は，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)

で与えられます．ここでｕ0＝１，ｕ2n+1＝０とします．

　　u0=1,u2=1/2,u4=3/8,u6=5/16,u8=35/128,u10=63/256,u12=231/1024,

　　u14=429/2048,u16=6435/32768,u18=12155/65536,u20=46189/262144

　ｕnの母関数を

　　Ｕ（ｔ）＝Σｕnｔ^n

とおくと，ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)ですから，この級数の項比は

　　ｕ2(n+1)ｔ^2(n+1)／ｕ2nｔ^2n=(n+1/2)*t^2/(n+1)

これより，級数Ｕ（ｔ）は超幾何級数1Ｆ0(1/2,t^2)であると同定され，

　　Ｕ（ｔ）＝1Ｆ0(1/2,t^2)＝（１−ｔ^2）^(-1/2)

であることがわかります．

　２項展開からすぐにこの関数を思い浮かべることは困難と思われますが，超幾何関数であると仮定すると上のようにして導き出すことができます．

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一方、組み合わせ数(n/2,n)は、nが偶数ならば0であるから、その母関数は

G(x)=Σ(1,∞)(n/2,n)x^n=Σ(0,∞)(m+1/2,2m+1)x^(2m+1)=x/((x^2+4)^1/2

これら２個の関数の間には次の等式が成り立つ。

U(-1/y^2)=y/(y^2+1)^1/2=G(2y)

この対称性は超幾何関数のもつもっとも単純な例を与えているという…

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