決して有名とはいえないのだが，次のようなゼータ関数に帰着する無限級数（n=1~∞）が知られている．２項係数nＣkを(n,k)と書くことにすると

　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

　　Σ1/n(2n,n)=π√3/9

　　3Σ1/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=ζ（3）

　　36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）

　これらは，

　　Σ1/n^k(2n,n)

あるいは

　　Σ(-1)^(n-1)/n^k(2n,n)

と書けるが，もしζ（2），ζ（3），ζ（4），・・・がΣ1/n^k(2n,n)あるいはΣ(-1)^(n-1)/n^k(2n,n)の有理数倍になっているとしたら・・・，そして，その明示的な公式を得ることができたら・・・，それは夢のような話であろう．

　答えの方から逆に考えれば

　　Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=Σ1/n^3*（2/5に収束する無限級数）

　　Σ1/n^4(2n,n)=Σ1/n^4*（17/36に収束する無限級数）

になるはずだが，これらは一体どうやって求められたのだろう？

　公式集をめくって探索していくうちに，

　　新数学公式集�T（初等関数），丸善

のなかに，以下の２重級数公式を発見した（k:1~∞，m:1~k）．

　　Σ1/(k+1)^2*(Σ1/m)=ζ（3）

　　Σ1/(k+1)^3*(Σ1/m)=π^4/360

　ζ（4）=π^4/90であるから，後者は

　　4Σ1/(k+1)^3*(Σ1/m)=ζ（4）

とも書ける．これらの公式が証明の役に立つかも知れないと思いつつ，これ以上の思索を停止することにした．もし，ご存知の方があればご教示願いたい．

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