(1)２数ａ0，ｂ0をとり，ａ1＝（ａ0＋ｂ0）／２，ｂ1＝√ａ1ｂ0＝√ｂ0（ａ0＋ｂ0）／２を計算する．次に，ａ2＝（ａ1＋ｂ1）／２，ｂ2＝√ａ2ｂ1とする．ｂnを計算するときａn-1でなく最新のａnを使っていることに注意されたい．

　すると，ａnとｂnは急速に同じ極限Ｌ（ａ，ｂ）に到達する．このとき，極限関数はＬ（ａ，ｂ）＝

（ｂ^2−ａ^2）^(1/2)／ａｒｃｃｏｓ（ａ／ｂ）　　　　（０≦ａ＜ｂのとき）

ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝ｂのとき）

（ａ^2−ｂ^2）^(1/2)／ａｒｃｃｏｓｈ（ａ／ｂ）　　　（ｂ＜ａのとき）

で与えられる（パッフ）．

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ｒ＞０，−π／２＜θ＜π／２，ａ0＝ｒｃｏｓθ，ｂ0＝ｒとする．

ａ1＝ｒｃｏｓ^2（θ／２）

ｂ1＝ｒｃｏｓ（θ／２）

ａ2＝ｒｃｏｓ（θ／２）ｃｏｓ^2（θ／２^2）

ｂ2＝ｒｃｏｓ（θ／２^2）ｃｏｓ（θ／２^2）

ａn＝ｒｃｏｓ（θ／２）・・・ｃｏｓ^2（θ／２^n）

ｂn＝ｒｃｏｓ（θ／２）・・・ｃｏｓ（θ／２^n）

ａn／ｂn＝ｃｏｓ^2（θ／２^n）→１

ｓｉｎθ

＝２ｓｉｎ（θ／２）ｃｏｓ（θ／２）

＝２^2ｓｉｎ（θ／２^2）ｃｏｓ（θ／２^2）ｃｏｓ（θ／２）

＝２^3ｓｉｎ（θ／２^3）ｃｏｓ（θ／２^3）ｃｏｓ（θ／２^2）ｃｏｓ（θ／２）

＝２^nｓｉｎ（θ／２^n）ｃｏｓ（θ／２^n）・・・ｃｏｓ（θ／２^3）ｃｏｓ（θ／２^2）ｃｏｓ（θ／２）

より

ｂn＝ｒｓｉｎθ／２^nｓｉｎ（θ／２^n）

＝ｒｓｉｎθ／θ・（θ／２^n）／ｓｉｎ（θ／２^n）

ｂn→ｒｓｉｎθ／θ

ａn→ｒｓｉｎθ／θ

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