２項定理は数学の基本的な定理の中でも最も重要な定理である．ここでは，nＣkのことを(n,k)を書くことにするが，階乗や２項係数などを含んだ有限和では，たとえば

　　Σ(n,k)=2^n

次数ｎの２項係数の和は2^nであるという有名な（古い？，由緒ある？）恒等式がある．これは，パスカルの三角形

　　Σ(n,k)p^k･q^(n-k)=(p+q)^n

において，ｐ＝１，ｑ＝１とおくことにより簡単に導かれる．

　２項係数の２乗の和も非常に簡単である．　　

　　Σ(n,k)^2=(2n,n)

（証明）文字１，２，・・・，ｎからｋ個の文字の選び方は(n,k)通り．

文字ｎ＋１，ｎ＋２，・・・，２ｎからｎ−ｋ個の文字の選び方は(n,n-k)通り．

したがって，そのような対の選び方は(n,k)(n,n-k)=(n,k)^2通り．

　一方，２ｎ個の文字１，２，・・・，２ｎからｎ個の文字の選び方は(2n,n)通り．各ｋに対する上の対の選び方は１対１に対応しているから，その和Σ(n,k)^2は(2n,n)に等しい．

　では，３乗の和はどうなるのであろうか？

　　Σ(n,k)^3=？

実はこれには単純な公式のないことが証明されている．（f(n)=Σ(n,k)^3の満たす漸化式は

　　8(n+1)^2f(n)+(7n^2+21n+16)f(n+1)-(n+2)^2f(n+2)=0

であるが，閉形式の解はもたない．）

　比較的有名な有限級数をあげておくと，

　　Σ(-1)^k(n,k)=0

　　Σk(n,k)=n2^(n-1)

　　Σ(2n-2k,n-k)(2k,k)=4^n

　　Σ(-1)^k(2n,k)^3=(-1)^n(3n)!/(n!)^3

　　Σ(-1)^k(a+b,a+k)(a+c,c+k)(b+c,b+k)=(a+b+c)!/a!b!c!

　　Σ(-1)^k(2n,k)(2k,k)(4n-2k,2n-k)=(2n,n)^2

　　Σ(i+j,i)(j+k,j)(k+i,k)=Σ(2j,j)　　 i+j+k=n

　　Σ(-1)^(n+r+s)(n,r)(n,s)(n+r,r)(n+s,s)(2n-r-s,n)=Σ(n,k)^4

　　Σ(-1)^k(2n,k)^3=(-1)^n(3n)!/(n!)^3

　　Σ(-1)^k(a+b,a+k)(a+c,c+k)(b+c,b+k)=(a+b+c)!/a!b!c!

はコラム「定数項予想入門」にもでてきたディクソンの有名な和公式であるが，とくに後者の恒等式は美しく覚えやすい形である（ディクソンの恒等式）．

　また，

　　Σ(n,k)(n+k,k)^2

　　Σ(n,k)^2(n+k,k)^2

はそれぞれアペリがζ（2），ζ（3）の無理数性の証明に用いた数列であるし，

　　Σ(n,k)(n+k,k)

はｌｏｇ２の数列を構成する．→コラム「ゼータとポリログ関数」参照

　有名ではないが，次のようにゼータ関数に帰着する無限級数も知られている．

　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

　　Σ1/n(2n,n)=π√3/9

　　3Σ1/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=ζ（3）

　　36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）

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