■二項定理のqアナログ(その3)
【2】q-超幾何関数
q-2項級数は
(az;q)∞/(z;q)∞=Σ(a;q)m/(q;q)m・z^m
ガンマ関数(階乗の一般化),ガウスの超幾何関数(2項級数の一般化)のqアナログも同様に与えることができて,
q-ガンマ関数:Γq(x)=(q;q)∞/(q^x;q)∞(1-q)^(1-x)
q-超幾何関数:2φ1(a,b,c:q,x)=Σ(a;q)m(b;q)n/(c;q)m(q;q)m・x^m
と定義される.
q-超幾何関数はハイネの超幾何関数2φ1とも呼称される.ガウスの超幾何関数2F1は超幾何微分方程式
x(1-x)d^2y/dx^2+{γ-(α+β+1)x}dy/dx-αβy=0
を満たすが,q-超幾何関数2φ1は類似の2階差分方程式をみたす.
Σq^m^2/{(1-q)^2(1-q^2)^2・・・(1-q^m)^2}= Π1/(1-q^n)
はq-超幾何関数
Σ(a-1)(a-q)・・・(a-q^n-1)(b-1)(b-q)・・・(b-q^n-1)x^n/(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^n)(1-c)(1-cq)・・・(1-cq^n-1)=Π(1-caq^n)(1-cb^n)/(1-cq^n)(1-abcq^n)
の特別な場合である.
Σq^m^2/{(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^m)}= Π1/(1-q^(5n-4))(1-q^(5n-1)
Σq^(m^2+m)/{(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^m)}= Π1/(1-q^(5n-3))(1-q^(5n-2)
はそれぞれロジャーズ・ラマヌジャンの第1恒等式,第2恒等式であるが,ロジャース・ラマヌジャン恒等式にはやさしい証明は存在せず,q二項係数とヤコビの三重積公式を使って証明される.
Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞(第1恒等式)
Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞(第2恒等式)
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