■二項定理のqアナログ(その3)

【2】q-超幾何関数

 q-2項級数は

  (az;q)∞/(z;q)∞=Σ(a;q)m/(q;q)m・z^m

ガンマ関数(階乗の一般化),ガウスの超幾何関数(2項級数の一般化)のqアナログも同様に与えることができて,

  q-ガンマ関数:Γq(x)=(q;q)∞/(q^x;q)∞(1-q)^(1-x)

  q-超幾何関数:2φ1(a,b,c:q,x)=Σ(a;q)m(b;q)n/(c;q)m(q;q)m・x^m

と定義される.

 q-超幾何関数はハイネの超幾何関数2φ1とも呼称される.ガウスの超幾何関数2F1は超幾何微分方程式

  x(1-x)d^2y/dx^2+{γ-(α+β+1)x}dy/dx-αβy=0

を満たすが,q-超幾何関数2φ1は類似の2階差分方程式をみたす.

  Σq^m^2/{(1-q)^2(1-q^2)^2・・・(1-q^m)^2}= Π1/(1-q^n)

はq-超幾何関数

  Σ(a-1)(a-q)・・・(a-q^n-1)(b-1)(b-q)・・・(b-q^n-1)x^n/(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^n)(1-c)(1-cq)・・・(1-cq^n-1)=Π(1-caq^n)(1-cb^n)/(1-cq^n)(1-abcq^n)

の特別な場合である.

  Σq^m^2/{(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^m)}= Π1/(1-q^(5n-4))(1-q^(5n-1)

  Σq^(m^2+m)/{(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^m)}= Π1/(1-q^(5n-3))(1-q^(5n-2)

はそれぞれロジャーズ・ラマヌジャンの第1恒等式,第2恒等式であるが,ロジャース・ラマヌジャン恒等式にはやさしい証明は存在せず,q二項係数とヤコビの三重積公式を使って証明される.

  Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞(第1恒等式)

  Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞(第2恒等式)

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