１，１＋ｑ，１＋ｑ＋ｑ^2，・・・，１＋ｑ＋ｑ^2＋・・・＋ｑ^(n-1)，・・・

は，ｑ→１とすることによって，１，２，３，・・・，ｎ，・・・に近づく．このことから逆に

　　１，１＋ｑ，１＋ｑ＋ｑ^2，・・・，１＋ｑ＋ｑ^2＋・・・＋ｑ^(n-1)，・・・

＝（１−ｑ）／（１−ｑ），（１−ｑ^2）／（１−ｑ），（１−ｑ^3）／（１−ｑ），・・・，（１−ｑ^n）／（１−ｑ），・・・

は自然数のｑアナログを与えていると考えることができる．

　ｑアナログとはｑの多項式であって，ｑを１にしたときにもとの対象が現れるようなもののことである．ｑアナログは量子化の概念に非常によく似た形で与えられるといったほうがわかりやすいかもしれない．

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【１】ｑ-２項係数（ガウス多項式）

　階乗ｎ！のｑアナログは

　　Π(1-q^k)/(1-q)

となるが，２項係数(n,m)=n!/m!(n-m)!のｑアナログ（ｑ-２項係数）を

　　[n,m]

と書くことにして，さらに

　　(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)

なる記号を導入すると

　　(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)

になるので，

　　[n,m]=(1-q^n)(1-q^n-1)･･･(1-q^n-m+1)/(1-q^m)(1-q^m-1)･･･(1-q)=(q;q)n/(q;q)m(q;q)n-m

　このようにして，２項定理

　　(1+z)^n=Σ(n,m)z^m

のｑアナログは

　　(1+z)(1+zq)･･･(1+zq^(n-1))=(-z;q)n= Σ[n,m]q^(m(m-1)/2)･z^m

と表すことができる．

　同様に，

　　(1-z)^-n=Σ(n+m-1,m)z^m

のｑアナログは

　　1/{(1-zq)(1-zq^2)･･･(1-zq^n)}= Σ[n+m-1,m]q^m･z^m

が成り立つ．

　二項級数は多くの重要な性質をもっている．

　　(n+m,m)=(n+m,n)　　　（対称性）

　　(n,m)=(n-1,m)+(n-1,m-1)　　　（漸化式）

　　(n+m,m)=(n+m-1,m)+(n+m-1,m-1)　　　（漸化式）

　　Σ(n,m)=2^n

　　Σ(-1)^m(n,m)=0

　　Σ(n,m)^2=(2n,n)

　これらの多くがｑアナログに拡張される．

　　[n+m,m]=[n+m,n]　　　（対称性）

　　[n+m,m]=[n+m-1,m]+q^m[n+m-1,m-1]　　　（漸化式）

　　[n+m,m]=q^n[n+m-1,m]+[n+m-1,m-1]　　　（漸化式）

　　Σ(-1)^m[n,m]=0　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎが奇数のとき

　　Σ(-1)^m[n,m]=(1-q)(1-q^3)(1-q^5)･･･(1-q^n-1)　　ｎが偶数のとき

　　Σq^m^2[n,m]=[2n,m]

　　Σq^m/2[n,m]=(1+q^1/2)(1+q)(1+q^3/2)･･･(1+q^n/2)

　　Σq^l[m+l,m]=[n+m+1,n]

　ここで，Σq^m^2[n,m]=[2n,m]において，ｎ→∞とすると

　　Σq^m^2/{(1-q)^2(1-q^2)^2･･･(1-q^m)^2}= Π1/(1-q^n)

が導かれる．

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