【１】二項定理

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

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(a+b)^n=a^n+(n,1)a^(n-1)b+(n,2)a^(n-2)b^2+・・・+b^n

(a+b)^n=Σ(n,r)a^(n-r)b^r

(a+b)^n=Σn(n-1)・・・(n-r+1)/r!・a^(n-r)b^r

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【２】ニュートンの一般化二項級

a=1,b=xとおくと

(1+x)^n=Σn(n-1)・・・(n-r+1)/r!・x^r

となるが、ニュートンはnが非正整数の場合にも一般化し、自身の微分積分法の基礎となした。任意の有理数ｎについても成り立つという主張であるが、1665年の一般化はニュートンの驚異の諸年のハイライトというべきものであった。1667年までの2年間に微分積分学、万有引力、色の理論という彼の三大発見の基礎を作り上げたのである。

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1/(1-x^2)^1/2=1+1/2・x^2-(1・3/2・4)・x^4-(1・3・5/2・4・6)・x^6+・・・

これを項別積分するとarcsinの級数展開になる。

arcsinx=x+x^2/6+3x^5/40-5x^7/112+・・・

それを逆に解くとsinの級数展開を求めることができる。 s

inx=x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040+・・・

1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+・・・

これを項別積分すると

log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+・・・

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1/(1-x)^1/2=1+1/2・x+(1・3/2・4)・x^2+(1・3・5/2・4・6)・x^3+・・・

(1+x)^1/3=1+1/3・x-(2/3・6)・x^2+(1・2・5/3・6・9)・x^3+・・・

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1/(1-x)^1/2=1+1/2・x+(1・3/2・4)・x^2+(1・3・5/2・4・6)・x^3+・・・=(1+x+x^2+・・・)^1/2を求めてみよう　

(1+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+・・・)^2=1+x+x^2+・・・

2a1=1,a1=1/2

2a2+a1^2=1,a2=3/8

2a3+2a2a1=1,a3=5/16

2a42a3a1+a2^2=1,a4=35/128

2a5+2a4a1+2a3a2=1,a5=63/256

これを整理すると

1/(1-x)^1/2=1+1/2・x+(1・3/2・4)・x^2+(1・3・5/2・4・6)・x^3+・・・

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