sinx=xΠ(1-x^2/π^2k^2)の両辺の係数を比較することで、ζ(2)=π^2/6、ζ(4)=π^4/90、・・・が求まる

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sinx=xΠ(1-x^2/π^2k^2)

sinhx=xΠ(1+x^2/π^2k^2)より

x^2Π(1-x^4/π^4k^4)=x^2Σ(-1)^k2^(2k+1)x^4/(4k+2)!

両辺の係数を比較することで、ζ(41,42,・・・,4k)=Σ1/(m1^4m2^4・・・mk^4)=2^(2k+1)π^4k/(4k+2)!

k=1とすればζ(4)=π^4/90が求まる

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ΣGnx^n=x/log(1+x)=1+x/2-x^2/12+x^3/24-19x^4/720+・・・

Gn:グレゴリー係数

ζ(s1,s2,・・・,sk)=Σ1/(m1^s1m2^s2・・・mk^sk)

s1→0,s2→0,s3→0,・・・,sk→0のとき，

ζ(s1,s2,・・・,sk)→(-1)^k/(k+1)

k=1・・・-1/2

k=2・・・1/3

s2→0,s1→0,s3→0,・・・,sk→0のとき，

ζ(s1,s2,・・・,sk)→(-1)^k/(k+1)-Gk

k=2・・・1/3+1/12＝5/12

k=3・・・-1/4-1/24=-7/24

k=4・・・1/5-19/720＝163/720

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log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+・・・

x/log(1+x)=1/(1-x/2+x^2/3-x^3/4+・・・)

(1-x/2+x^2/3-x^3/4+x^4/5-・・・)(1+ax+bx^2+cx^3+dx^4+・・・)=1

a-1/2=0,a=1/2

b-a/2+1/3=0,b=-1/12

c-b/2+a/3-1/4=0,c=1/24

d-c/2+b/3-a/4+1/5=0,d=-19/720

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