常微分方程式の一般解の動く特異点が極のみであるという性質をパンルヴェ性という。パンルヴェ性を解ける方程式のみつけるための指針として利用したのがコワレフスカヤである。古典力学の問題では保存量を見つけて、解の軌道を特定する。十分な保存量が見つかれば軌道が特定できる。

十分な保存量をもつ微分方程式系を可積分系と呼ぶ。可積分系では楕円関数を使って、解を記述できることが多い。

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【１】オイラー・ポアンソの方程式

重力の作用下で、剛体の固定点周りの運動を記述する。

Adx1/dt=(B-C)x2x3+ζy2-ηy3

Bdx2/dt=(C-A)x3x1+ξy3- ζy1

Cdx3/dt=(A-B)x1x2+ηy1-ξy2

dy1/dt=x3y2-x2y3

dy2/dt=x1y3-x3y1

dy3/dt=x2y1-x1y2

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【２】オイラーのコマ

外力がなく自由運動する場合、ξ=η=ζ=0

保存量としてAx1^2+Bx2^2+Cx3^2,A^2x1^2+B^2x2^2+C^2x3^2がとれて可積分系となる

ヤコビの楕円関数を用いて

x1=αcnλt,x2=βsnλt,x3=γdnλt

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【３】ラグランジュのコマ

軸対称のコマの場合、A=B, ξ=η=0

保存量としてAx1^2+Bx2^2+Cx3^2+2ζy3,Ax1y1+Bx2y2+Cx3y3^2,y1^2+y22+y3^2,x3がとれて可積分系となる

ヤコビの楕円関数を用いて,記述できる

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【４】コワレフスカヤのコマ

軸対称のコマの場合、パンルヴェ性を仮定して A=B=2C, η=ζ=0

保存量としてAx1^2+Bx2^2+Cx3^2+2ξy1,Ax1y1+Bx2y2+Cx3y3^2,y1^2+y22+y3^2,(x1^2-x2^2-ξy1)^2+(2x1x2-ξy2)^2がとれて可積分系となる

ヤコビの楕円関数を用いて,記述できない。２変数のリーマン・テータ関数を使って記述される

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