【１】シンク積分

　　∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ

の披積分関数をべき級数に展開したのち，項別に積分すると，

　　ｘ−ｘ^3／３・３！＋ｘ^5／５・５！−・・・

が得られる．正弦積分とは，

　　Ｓｉ（ｘ）＝∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ

として定義される特殊関数（初等関数によって表し得ない関数）である．

　また，その特殊値

　　Ｓｉ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ＝π／２

はディリクレ積分とも呼ばれる．

　　∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

はよく知られていて，複素積分などを用いて求めることができる．

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【２】フレネル積分

　　∫(0,∞)sin√x/xdx=?

において，y=√xとおくと，dx=2ydyより

　　∫(0,∞)siny/y^2･2ydy=2∫(0,∞)siny/ydy=π

となる．しからば

　　∫(0,∞)sinx/√xdx=?

というのが今回の問題である．

　y=√xとおくと

　　∫(0,∞)sinx/√xdx=∫(0,∞)siny^2/y･2ydy=2∫(0,∞)siny^2dy

はフレネル積分の特殊値となり，ｘ→∞の極限は

　　∫(0,∞)sinx/√xdx=√(π/2)

になる．

　結論を先にいってしまったが，披積分関数をべき級数に展開したのち，項別に積分すると，次の展開式が得られるという．

　　(∫(0,∞)sinx/√xdx）^2=Σ(2k)!/2^2k(k!)^2･1/(2k+1)

　　=Π4k^2/(4k^2-1)=π/2

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