クロソイド曲線は

　　ｘ（ｓ）＝∫(0,s)ｃｏｓ（θ^2／２）ｄθ

　　ｙ（ｓ）＝∫(0,s)ｓｉｎ（θ^2／２）ｄθ

で与えられるが，これはフレネル積分の特別な場合である．

　その曲率半径は１／ｓ（曲率はｓ）である．ｓは弧長であるから，曲線に沿って原点から遠ざかるにつれて，一定値ｓで曲率は大きくなることがわかる．

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【１】ディリクレ積分

　　∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ

の披積分関数をべき級数に展開したのち，項別に積分すると，

　　ｘ−ｘ^3／３・３！＋ｘ^5／５・５！−・・・

が得られる．正弦積分とは，

　　Ｓｉ（ｘ）＝∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ

として定義される特殊関数（初等関数によって表し得ない関数）である．

　また，その特殊値

　　Ｓｉ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ＝π／２

はディリクレ積分とも呼ばれる．

　　∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

はよく知られていて，複素積分などを用いて求めることができる．

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【２】広義ディリクレ積分の収束性

［１］α，βが正の定数でα＞β−１を満たすとき，広義積分

　　∫(0,1)sinx^α/x^βdx=?

が収束することを示す．

　ｘ→０のとき，ｓｉｎｘ／ｘ→１であるから，ある定数Ｃ1，Ｃ2があって

　　Ｃ1≦ｓｉｎｘ／ｘ≦Ｃ2

が成り立つ．ゆえに

　　Ｃ1ｘ^（α−β）≦ｓｉｎｘ^α／ｘ^β≦Ｃ2ｘ^（α−β）

　　Ｃ1∫(h,1)ｘ^（α−β）ｄｘ≦∫(h,1)ｓｉｎｘ^α／ｘ^βｄｘ≦Ｃ2∫(h,1)ｘ^（α−β）ｄｘ

　β−α＜１より，ｈ→０の極限をとると，ｈについて単調減少で下に有界であるから，当該の広義積分は存在し，値はＣ1∫(0,1)ｘ^（α−β）ｄｘとＣ2∫∫(0,1)ｘ^（α−β）ｄｘの間にある．

　とくに，α＝１，０＜β＜２とすれば，広義積分

　　∫(0,1)sinx/x^βdx=?

は収束する．したがって，β＝１／２

　　∫(0,1)sinx/√xdx=?

が存在する．

　y=√xと変数変換すると

　　∫(0,1)sinx/√xdx=∫(0,1)siny^2/y･2ydy=2∫(0,1)siny^2dy

になる．

［２］βが正の定数のとき，広義積分

　　∫(1,∞)sinx^α/x^βdx=?

が収束することも示すことができる．

　［１］，［２］を併せると，フレネル積分

　　Ｓ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎ（πｔ^2／２）ｄｔ

の収束は保証されたことになる．

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