ガウスは円積分に倣って、レムニスケートサインの逆関数を

∫(0,x)dx/(1-x^4)^1/2

で定義した。

ω=∫(0,1)dx/(1-x^4)^1/2

さらにcosx=sin(π/2-x)に倣って、レムニスケートコサインを

c(x)=s(ω-x)

によって定義した

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加法公式は

s(u+v)={s(u)c(v)+s(v)c(u)}/{1-s(u)s(v)c(u)c(v)}

c(u+v)={c(u)c(v)-s(v)s(u)}/{1+s(u)s(v)c(u)c(v)}・・・実数全体に拡張

複素関数に拡張すると

s(iu)=is(u),v(iu)=1/c(u)

s(u+4ω)=s(x),s(u+4iω)=s(x)・・・２重周期的有理関数

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ω=∫(0,1)dx/(1-x^4)^1/2

楕円曲線y^2=1-x^4は複素平面上、x=±1,±iで、y=0となる。

x=ix'と変数変換すると

∫(0,i)dx/(1-x^4)^1/2=∫(0,1)d(ix')/(1-x'^4)^1/2=iω

u=∫(0,v)dx/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^1/2

この逆関数

v=sn(u)はヤコビのエスエヌ関数と呼ばれる

v=sn(u)は２重周期4ω、2(1+i)ωを有する楕円関数である。

sn(u)=-2(p(u)-e1)/p'(u),e1=p(2ω)

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