ガウスは１８１２年に超幾何級数

Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝１＋αβ／γｘ＋１／２！α（α＋１）β（β＋１）／γ（γ＋１）ｘ２＋１／３！α（α＋１）（α＋２）β（β＋１）（β＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ３＋・・・

について非常に詳細な研究を行っていたことで知られています．この形の超幾何関数はガウスの超幾何関数と呼ばれ，

　　2F1(α，β；γ；ｘ）

で表されます．

　この級数が重要なのは，多くの既知の関数がこの級数で表されるという事実で，たとえば，

ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘＦ（１，１，２：−ｘ）

（１＋ｘ）n＝Ｆ（-n，β，β：ｘ）

があげられます．

　また，

Ｆ（α，γ：ｘ）＝１＋α／γｘ＋１／２！α（α＋１）／γ（γ＋１）ｘ２＋１／３！α（α＋１）（α＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ３＋・・・

場合を合流形超幾何関数（またはクンマーの超幾何関数）と呼び，

　　1F1(α；γ；ｘ）

で表されます．

　一般に，F(x)=Σａnｘnとおくと，ａ0=1で連続する２項の係数比ａn+1/ａnが定数となる関数を超幾何関数と呼びます．

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　超幾何関数はもっと一般化することが可能でp個の上部パラメータとq個の下部パラメータを有する超幾何関数は

pFq(a1,a2,･･･,ap;b1,b2,･･･,bq;x)と表されます．

ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+a1)(n+a2)･･･(n+ap)/(n+b1)(n+b2)･･･(n+bq)x/(n+1)

　したがって，超幾何関数は項比が有理関数

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=p(n)/q(n)x/(n+1)

であるような級数にほかなりません．たとえば，級数Σ1/n4(2n,n)は漸化式

(2n,n)=2n!/n!n!=2(2n-1)/n(2(n-1),n-1)より

n4(2n,n)

=2(2n-1)n^3(2(n-1),n-1)

=2(2n-1)n^3/(n-1)4*(n-1)4(2(n-1),n-1)

なる漸化式が得られます．ここで

Σ1/n4(2n,n)が第０項から始まるようにパラメータをずらします．

Σ1/(n+1)4(2(n+1),n+1)

　この級数の項比は

ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1)^5/2(2n+3)(n+2)^2*x/(n+1)

ですから，

Σ1/(n+1)4(2(n+1),n+1)=a05F4(1,1,1,1,1|1/4)

(3/2,2,2,2| )

また，ａ0=1/2より

Σ1/(n+1)4(2(n+1),n+1)=1/25F4(1,1,1,1,1|1/4)

(3/2,2,2,2| )

これより級数Σ1/n4(2n,n)は超幾何級数であると同定されます．

指数関数，対数関数，三角関数，２項関数，ベッセル関数，直交多項式列，不完全ガンマ関数，指数積分，ガウスの誤差関数なども超幾何級数であって，超幾何関数は一般に収束半径１をもちます．

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