【３】チェビシェフ多項式の性質

［１］最良近似

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐ1ｘ^n-1＋・・・＋ｐn

　　Ｌ＝ｍａｘ｜ｆ（ｘ）｜

とおく．そのとき，区間［−１，１］上でＬを最小にするのは

　　ｆ（ｘ）＝Ｔn(x)／２^n-1

ただひとつで，Ｌ＝１／２^n-1が成立する．

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[Q]f(x)=x^3+ax^2+bx+c, [-1,1]において、maxf(x)を最小にするa,b,cを求めよ

[A][0,1]で考える。0＜α＜β＜1なる２点α、βで極値,f(0)=f(β)=-M,f(α)=f(1)=Mを満たすものが、maxf(x)の最小値を与える

f(x)-M=(x-α)^2(x-1)

f(x)+M=x(x-β)^2

両辺の係数を比較すると,

α=1/4,β=3/4,M=1/32

f(x)=x^3-3/2x^2+9/16x-1/32

次に[0,1] →[-1,1]で考える。

t=2x-1とおく。

f((t+1)/2)={(t+1)/2}^3-3/2{(t+1)/2}^2+9/16{(t+1)/2}-1/32=1/8(t^3-3/4t)

f(x)=x^3-3/4x

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