与えられた関数ｆ（ｘ）に対して与えられた区間［−ｈ，ｈ］上で，ｎ−１次多項式：ｇ（ｘ）＝ｐ0＋ｐ1ｘ＋ｐ2ｘ^2＋・・・＋ｐn-1ｘ^n-1とのズレ

　　ｈ（ｘ）＝｜ｆ（ｘ）−ｇ（ｘ）｜

の最大値を最小にするパラメータの値を求める最良一様近似（ミニマックス近似）の問題を考える．

　有理分数式ｇ（ｘ）＝ｐ（ｘ）／ｑ（ｘ）を用いて最良近似する問題も含め，このような一様計量はチェビシェフ計量と呼ばれていて，最小２乗法の計量とは異なる．

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【１】最良近似

　特殊な場合として，最高次数の係数が１のｎ次多項式

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^n＋ｐ1ｘ^n-1＋・・・＋ｐn

で，ゼロからの偏差が最小の多項式を求める問題を考えよう．もし解が存在するならば，Ｌ＝ｍａｘ｜ｆ（ｘ）｜としてｆ（ｘ）の値の絶対値がＬに等しく，ｎ回符号が交代する点が存在することが必要である．

　そのためには，ｇ（ｘ）＝（１／ｎ）ｆ’（ｘ）（すなわち最高次数の係数が１のｎ−１次多項式）として恒等式

　　｜ｆ（ｘ）｜^2−Ｌ^2＝（ｘ^2−ｈ^2）｜ｇ（ｘ）｜^2

が成り立たなければならない．

　　ｆ（ｘ）−（ｘ^2−ｈ^2）^1/2ｇ（ｘ）＝Ｌ^2／（ｘ^2−ｈ^2）^1/2ｆ（ｘ）｛ｆ（ｘ）＋（ｘ^2−ｈ^2）^1/2ｇ（ｘ）｝

と書き換えて，１／（ｘ^2−ｈ^2）^1/2の連分数展開すると

　　ｆ（ｘ）＝｛（ｘ＋（ｘ^2−ｈ^2）^1/2）^n＋（ｘ−（ｘ^2−ｈ^2）^1/2）^n｝／２^n

　ここで，ｘ＝ｈｃｏｓθとおくと

　　ｆ（ｘ）＝ｈ^n／２^n-1・ｃｏｓｎθ＝ｈ^nＴn（ｘ／ｈ）

　　Ｔn（ｘ）＝１／２^n-1・ｃｏｓ（ｎａｒｃｃｏｓｘ）

という形をとることがわかる．

［注］多少修正した記号を使う場合もあるので，注意！

　　Ｌ＝ｈ^n／２^n-1

零点は−ｈ＝ｘ1＝ｈｃｏｓ（ｎπ／ｎ），ｘ2＝ｈｃｏｓ（（ｎ−１）π／ｎ），・・・，ｘn+1＝ｈで与えられる．

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