レムニスケートの弧長ｓは

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ｘ^2−ｙ^2

において，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒｃｏｓθ＝ｘ，ｒｓｉｎθ＝ｙとおくと，

　　ｒ^2＝ｃｏｓ２θ

　　ｄθ＝−ｄｒ（ｃｏｓ２θ）^1/2／ｓｉｎ２θ

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｒ）^2＋（ｒｄθ）^2＝（ｄｘ）^2｛１＋ｒ^2ｃｏｓ２θ／（ｓｉｎ２θ）^2｝

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｘ）^2｛１＋ｒ^4／（１−ｒ^4）｝

　　（ｄｓ）^2＝（ｄｒ）^2／（１−ｒ^4）

　　ｄｓ＝ｄｒ／（１−ｒ^4）^1/2

　　ｓ＝∫(0,x)ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2

で与えられる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝