ｓｌ’（ｕ）^2＝１−ｓｌ（ｕ）^4

　　ｓｌ”（ｕ）＝−ｓｌ（ｕ）^3

とおくと，加法定理：任意の実数ｕ，ｖに対して

　　ｓｌ（ｕ＋ｖ）＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｖ）＋ｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｕ）｝／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖ）｝

が成り立つ．

　複素数に拡張しても成り立つためには

　　ｓｌ（ｉｕ）＝ｉｓｌ（ｕ），ｓｌ’（ｉｕ）＝ｓｌ（ｕ）

　　ｓｌ（ｚ）＝ｓｌ（ｕ＋ｖｉ）＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｉｖ）＋ｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｉｕ）｝／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖｉ）｝＝

＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｖ）＋ｉｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｕ）｝／｛１−ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖ）｝

　　ｓｌ（ｉｚ）＝ｉｓｌ（ｚ），ｓｌ’（ｉｚ）＝ｓｌ（ｉｚ）

と定義する．

　このとき，加法定理：任意の複素数ｕ，ｖに対して

　　ｓｌ（ｕ＋ｖ）＝｛ｓｌ（ｕ）ｓｌ’（ｖ）＋ｓｌ（ｖ）ｓｌ’（ｕ）｝／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）ｓｌ^2（ｖ）｝

が成り立つ．

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【１】虚数乗法

　ｎ倍角公式を，ガウス整数ｍ＋ｎｉに拡張しても成り立つためには

　　ｓｌ（（ｍ＋ｎｉ）ｚ）＝ｓｌ（ｍｚ＋ｉｎｚ）＝｛ｓｌ（ｍｚ）ｓｌ’（ｉｎｚ）＋ｓｌ（ｉｎｚ）ｓｌ’（ｍｚ）｝／｛１＋ｓｌ^2（ｍｚ）ｓｌ^2（ｎｉｚ）｝＝

＝｛ｓｌ（ｍｚ）ｓｌ’（ｎｚ）＋ｉｓｌ（ｎｚ）ｓｌ’（ｍｚ）｝／｛１−ｓｌ^2（ｍｚ）ｓｌ^2（ｎｚ）｝

と定義する．

　とくに，ｍ＝１，ｎ＝±１のとき

　　ｓｌ（（１＋ｉ）ｚ）＝｛（１＋ｉ）ｓｌ（ｚ）ｓｌ’（ｚ）｝／｛１−ｓｌ^4（ｚ）｝

　　ｓｌ（（１−ｉ）ｚ）＝｛（１−ｉ）ｓｌ（ｚ）ｓｌ’（ｚ）｝／｛１−ｓｌ^4（ｚ）｝

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　α＝ｍ＋ｎｉについて，ｍ＋ｎが奇数のとき，Ｎα＝ｍ^2＋ｎ^2も奇数となる．ｍ＋ｎが奇数のとき，αは奇であという．αが奇でないとき，

　　α＝（１＋ｉ）β

と書ける．

［１］β＝ｍ＋ｎｉが奇のとき，ｓｌ（βｚ）＝０はＮβ個の解をもつ．

［２］ｓｌ（βｚ）＝ｉ^kｓｌ（ｚ）Ｐβ（ｓｌ^4（ｚ））／Ｑβ（ｓｌ^4（ｚ））　　ｋ＝０，１，２，３

が成り立つ．

［３］Ｐβ（ｕ），Ｑβ（ｕ）の次数は

　　（Ｎβ−１）／４＝（ｍ^2＋ｎ^2−１）／４

である．

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［雑感］

　ガウスによれば，レムニスケートのｎ等分方程式は，次数ｎ^2の方程式に帰着されるとある．言明［３］はその虚数乗法版である．

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