【１】二項定理

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

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(a+b)^n=a^n+(n,1)a^(n-1)b+(n,2)a^(n-2)b^2+・・・+b^n

(a+b)^n=Σ(n,r)a^(n-r)b^r

(a+b)^n=Σn(n-1)・・・(n-r+1)/r!・a^(n-r)b^r

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【２】ニュートンの一般化二項級

a=1,b=xとおくと

(1+x)^n=Σn(n-1)・・・(n-r+1)/r!・x^r

となるが、ニュートンはnが非正整数の場合にも一般化し、自身の微分積分法の基礎となした。任意の有理数ｎについても成り立つという主張であるが、1665年の一般化はニュートンの驚異の諸年のハイライトというべきものであった。1667年までの2年間に微分積分学、万有引力、色の理論という彼の三大発見の基礎を作り上げたのである。

n=-1の場合、

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=(-1)(-2)・・・(-r)/r!

1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+・・・

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+・・・

n=1/2の場合、

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=(1/2)(1/2-1)・・・(5/2-r)(3/2-r)/r!

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=(2r-3)!!・(-1)^r/2^r・r!

(1-4x)^1/2=Σ(2r-3)!!・(-1)^r(-4x)^r/2^r・r!

(1-4x)^1/2=Σ(2r-3)!!・2^r/r!・x^r

(1-4x)^1/2=Σ(2r-3)!!・2^r・r!/(r!)^2・x^r

(1-4x)^1/2=Σ(2r)!/(r+1)(r!)^2・x^r

(1-4x)^1/2=Σ(2r)!/(r+1)!(r!)・x^r

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パラメータがずれているので再考

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=(1/2)(1/2-1)・・・(5/2-r)(3/2-r)/r!

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=(-1/2)(1-1/2)・・・(r-5/2)(r-3/2)・(-1)^r/r!

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=(-1)(1)・・・(2r-5)(2r-3)・(-1)^r/2^r・r!

n(n-1)・・・(n-r+1)/r!=-(2r-3)!!・(-1)^r/2^r・r!

(1-4x)^1/2=-Σ(2r-3)!!・(-1)^r(-4x)^r/2^r・r!

(1-4x)^1/2=-Σ(2r-3)!!・2^r/r!・x^r

(1-4x)^1/2=-Σ(2r-3)!!・2^r・r!/(r!)^2・x^r

(1-4x)^1/2=-Σ(2r)!/(2r-1)(r!)^2・x^r

(1-4x)^1/2=-Σ(2r)!/(2r-1)(r!)^2・x^r

r=0→1,r=1 →-2x, r=2→-2x^2,r=3→-4x^3,r=4→-10x^4

{1-1+2x+2x^2+4x^3+10x^4+・・・)^1/2}/2x

{1+x+2x^2+5x^3+・・・}

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　ｃ（０）＝１，ｃ（１）＝１，ｃ（２）＝２，ｃ（３）＝５，

　　ｃ（４）＝１４，ｃ（５）＝４２，ｃ（６）＝１３２，

　　ｃ（７）＝４２９，ｃ（８）＝１４３０，ｃ（９）＝４８６２，・・・に一致

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{1-(1-4x)^1/2}=1+Σ(2r)!/(2r-1)(r!)^2・x^r

{1-(1-4x)^1/2}/2x=Σ(2r)!/2(2r-1)(r!)^2・x^(r-1) rは1以上

パラメータをr→r+1にシフトさせると

{1-(1-4x)^1/2}/2x=Σ(2r+2)!/2(2r+1)(r+1!)^2・x^(r) rは0以上

{1-(1-4x)^1/2}/2x=Σ(r+2)(r+3)・・・(2r+1)(2r+2)/2(2r+1)(r+1!)・x^(r) rは0以上

{1-(1-4x)^1/2}/2x=Σ(r+2)(r+3)・・・(2r)/(r!)・x^(r) rは0以上

{1-(1-4x)^1/2}/2x=Σ(2r)!/(r+1)!(r!)・x^(r) rは0以上・・・OK

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