【４】ベルヌーイ数

　ベルヌーイ数は，数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，元来はベキ乗和の公式

　　Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

を求めるために１７１３年に考案されたものですが，次のようなベキ級数展開に現れる係数として定義されます．

　　ｘ／（１−ｅｘｐ(-x)）＝１＋１／２ｘ＋Σ(-1)^(k-1)Ｂk／（２ｋ）！ｘ^2k

　同じことですが，ベルヌーイ数は

　　ｘ／ｔａｎｈｘ＝ｘｃｏｓｈｘ／ｓｉｎｈｘ

＝１＋Ｂ1／２！（２ｘ）^2−Ｂ2／４！（２ｘ）^4＋Ｂ6／２！（２ｘ）^6−・・・

　あるいは，ｘ／ｔａｎｈｘ＝２ｘ／（ｅｘｐ(2x)−１）＋ｘより，

　　ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）＝１−１／２ｘ＋Ｂ1／２！ｘ^2−Ｂ2／４！ｘ^4＋Ｂ3／６！ｘ^6−・・・

の係数として得られます．

　さらに，ベルヌーイ数を用いたベキ級数展開をいくつか掲げておきます．

ａ）１／ｓｉｎｈ２ｘ＝１／ｔａｎｈｘ−１／ｔａｎｈ２ｘより，

　　ｘ／ｓｉｎｈｘ＝１−（２^2−２）Ｂ1／２！ｘ^2＋（２^4−２）Ｂ2／４！ｘ^4−・・・

ｂ）１／ｔａｎｈｘ＝２／ｔａｎｈ２ｘ−１／ｔａｎｈｘより，

　　ｔａｎｈｘ＝２^2（２^2−１）Ｂ1／２！ｘ−２^4（２^4−１）Ｂ2／４！＋・・・

ｃ）ｔａｎｈｉｘ＝ｉｔａｎｘより，

　　ｔａｎｘ＝２^2（２^2−１）Ｂ1／２！ｘ＋２^4（２^4−１）Ｂ2／４！＋・・・

　母関数は，整数の性質を調べるのにベキ級数の問題（関数論）に翻訳することによって答えを見つけることができる強力な発見手段となっているのですが，これらの式はベルヌーイ数の別の形の母関数表示を与えているものと考えられ，実際，数論的に面白い性質を証明するのに利用することができます．

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ベルヌーイ数については，再帰公式

　　（Ｂ＋１）^n-Ｂ＾n＝０

が成り立ちます．ただし，２項展開してからＢ^nをＢnで置き換えることにします．

　数論の本では，ベルヌーイ数の定義として，これを採用しているものが多いのですが，この場合，よく知られた公式は，

　　Ｂ2k＝(-1)^(k-1)・２（２ｋ）！／（２π）^2k・ζ(2k)

と表されます．

　定義より，ベルヌーイ級数は，べき級数

　　（ｅｘｐ(x)−１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ1 ＋１／３！ｘ2 ＋１／４！ｘ3 ＋・・・

の反転級数と考えることができます．

　ｅｘｐ(x)＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ2 ＋・・・

ですから，

ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･

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　また，ベルヌーイ数と

似たものにオイラー数やタンジェント数があります．オイラー数は，

　　ｓｅｃｈｘ＝ΣＥn／ｎ！ｘ^n

＝Ｅ0／０！＋Ｅ2／２！ｘ^2＋Ｅ4／４！ｘ^4＋・・・

で，べき級数

　　ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4＋１／６！ｘ^6＋・・・

の反転級数として定義されます．

　オイラー数では再帰公式

　　（Ｅ＋１）^n-（Ｅ−１）^n＝０

が成り立ちます．

　　E0=1,E2=-1,E4=5,E6=-61,E8=1385,E10=-50521,･･･

　　E1=E3=E5=･･･=0

　一方，三角関数：ｔａｎｘのベルヌーイ数を用いた展開

　　ｔａｎｘ＝Σ(-1)^(n-1)２^2n（２^2n−１）Ｂ2nｘ^(2n-1)／（２ｎ）！

におけるｘ^(2n-1)／（２ｎ−１）！の係数

　　Ｔn＝(-1)^(n-1)２^2n（２^2n−１）Ｂ2n／２ｎ

はタンジェント数と呼ばれ，ベルヌーイ数の別の形の母関数表示を与えてくれます．

　すなわち，三角関数の展開公式にもベルヌーイ数がでてくるのですが，三角関数を楕円関数に置き換えても，展開係数はベルヌーイ数と似たような数論的性質をもってきます．これは三角関数についての現象を一般化するときの常套手段なのですが，その展開係数がフルヴィッツ数です．

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