■(2^n+1)/m型の数(その17)
フィボナッチ数列
1,1,2,3,5,8,13,・・・
を0からあるいは負の数から出発する場合に拡張してみます.
・・・,5.−3,2,−1,1,0,1,1,2,3,5,8,13,・・・
φ^2=φ+1
φ^3=φ^2φ=φ^2+φ=2φ+1
φ^4=φ^3φ=2φ^2+φ=3φ+2
φ^5=φ^4φ=3φ^2+2φ=5φ+3
φ^6=8φ+5
φ^7=13φ+8
φ^8=21φ+13
φ^9=34φ+21
φ^10=55φ+34
φ^11=89φ+55
1/φ=φ−1
1/φ^2=1−1/φ=−φ+2
1/φ^3=−1+2/φ=2φ−3
1/φ^4=2−3/φ=−3φ+5
1/φ^5=−3+5/φ=5φ−8
1/φ^6=−8φ+13
1/φ^7=13φ−21
1/φ^8=−21φ+34
1/φ^9=34φ−55
1/φ^10=−55φ+89
1/φ^11=89φ−144
これらを利用して,m=5の場合を検算してみたい.
===================================
(n,0)+(n,5)+(n,10)+・・・=(2^n+φ^n・2cosnπ/5+φ^-n・2cos2nπ/5)/5
n=10とする.
(10,0)+(10,5)+(10,10)=1+252+1=254
(2^10+φ^10・2cos10π/5+φ^-10・2cos20π/5)/5=(1024+2φ^10+2φ^-10)/5=(1024+68+178)/5=254
(10,1)+(10,6)=10+210=220
(2^10+φ^10・2cos8π/5+φ^-10・2cos16π/5)/5=(1024+φ^9−φ^-9)/5=(1024+21+55)/5=220
(10,2)+(10,7)=45+120=165
(2^10+φ^10・2cos6π/5+φ^-10・2cos12π/5)/5=(1024−φ^11+φ^-11)/5=(1024−55−144)/5=165
(10,3)+(10,8)=120+45=165
(2^10+φ^10・2cos4π/5+φ^-10・2cos8π/5)/5=(1024−φ^11+φ^-11)/5=165
(10,4)+(10,9)=210+10=220
(2^10+φ^10・2cos2π/5+φ^-10・2cos4π/5)/5=(1024+φ^9−φ^-9)/5=220
===================================