【１】パスカルの三角形の恒等式（その１）

　　１　　　１

　　１　　　２　　　１

　　１　　　３　　　３　　　１

　　１　　　４　　　６　　　４　　　１

　　１　　　５　　１０　　１０　　　５　　　１

　　１　　　６　　１５　　２０　　１５　　　６　　　１

　パスカルの三角形に斜線を引いて，斜線上に並ぶ数の交代和をとれば

　　Ｓ1＝１−１＝０

　　Ｓ2＝１−３＋１＝−１

　　Ｓ3＝１−５＋６−１＝１

　　Ｓ4＝１−７＋１５−１０＋１＝０

　　Ｓ5＝１−９＋２８−３５＋１５−１＝−１

　　Ｓ6＝１−１１＋４５−８４＋７０−２１＋１＝１

で，０，−１，１が周期３で順番に現れる．

　パスカルの三角形では，

　　（ｎ，０）−（ｎ，１）＋・・・＋（−１）^n（ｎ，ｎ）＝０

のような有名な交代和恒等式が知られているが，

　　Ｓn＝（２ｎ，０）−（２ｎ−１，１）＋・・・＋（−１）^n（２ｎ−ｎ，ｎ）

＝０　　　（ｎ＝３ｋ＋１のとき）

＝−１　　（ｎ＝３ｋ＋２のとき）

＝１　　　（ｎ＝３ｋのとき）

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【２】パスカルの三角形の恒等式（その２）

　　Ｕn＝Σ（ｎ，３ｒ）　　ｒ＝０〜［ｎ／ｒ］

を計算してみる．

　　Ｕ1＝（１，０）＝１

　　Ｕ2＝（２，０）＝１

　　Ｕ3＝（３，０）＋（３，３）＝２

　　Ｕ4＝（４，０）＋（４，３）＝５

　　Ｕ5＝（５，０）＋（５，３）＝１１

　　Ｕ6＝（６，０）＋（６，３）＋（６，６）＝２２

　周期性は見えてこないが，１の原始３乗根

　　ω＝ｃｏｓ（２π／３）＋ｉｓｉｎ（２π／３）

　　（１＋１）^n＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋・・・

　　（１＋ω）^n＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）ω＋（ｎ，２）ω^2＋・・・

　　（１＋ω^2）^n＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）ω^2＋（ｎ，２）ω^4＋・・・

を加えて（ｎ，ｒ）の係数を調べると

＝０　　　（ｒ＝３ｋ＋１のとき）

＝０　　　（ｒ＝３ｋ＋２のとき）

＝３　　　（ｒ＝３ｋのとき）

より，

右辺の和＝３（（ｎ，０）＋（ｎ，３）＋（ｎ，６）＋・・・）＝３Ｕn

左辺の和＝（１＋１）^n＋（１＋ω）^n＋（１＋ω^2）^n＝２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３）

　したがって，

　　Ｕn＝（２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３））／３

が得られる．

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