【１】Ｅ8格子

　コクセターは，８次元空間において２個の正軸体と１個の正単体を組み合わせると空間充填形ができ，ケイリー整数の作る格子がその具体形であることを証明した．

　原点と単位点，実数成分が１／２で他の３個がすべて＋１／２である原点の隣点７点，

（０，０，０，０，０，０，０，０）

（１，０，０，０，０，０，０，０）

（１／２，１／２，１／２，１／２，０，０，０，０）

（１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０，０）

（１／２，１／２，０，０，０，０，１／２，１／２）

（１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２，０）

（１／２，０，１／２，０，０，１／２，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，１／２，０，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，０，１／２，１／２，０）

合計９点は辺長が１の正単体をなす．

　他方，原点と全成分が１／２の点

（０，０，０，０，０，０，０，０）

（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）

を軸として，両者から等距離にある４成分が１／２，他の成分が０である１４点，

（１／２，１／２，１／２，１／２，０，０，０，０）

（１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０，０）

（１／２，１／２，０，０，０，０，１／２，１／２）

（１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２，０）

（１／２，０，１／２，０，０，１／２，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，１／２，０，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，０，１／２，１／２，０）

とその反転

（０，０，０，０，１／２，１／２，１／２，１／２）

（０，０，１／２，１／２，０，０，１／２，１／２）

（０，０，１／２，１／２，１／２，１／２，０，０）

（０，１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２）

（０，１／２，０，１／２，１／２，０，１／２，０）

（０，１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０）

（０，１／２，１／２，０，１／２，０，０，１／２）

合計１６点が辺長１の正軸体を作り，隙間なく全空間を覆うのである．

　正軸体，正単体のうち，頂点から最も遠い点はその中心

（１／４，１／４，１／４，１／４，１／４，１／４，１／４，１／４）

（１／２，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６）　

であり，その距離はそれぞれ１／√２，２／３である．

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