【５】証明（１）

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2

を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在する．一方，λ＞√５に対しても

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／λｂ^2

を満たす有理数ａ／ｂが有限個しかない無理数αが存在する．

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　α＝［ａ0：ａ1，ａ2，・・・］を無理数とする．無限個の近似分数ｐn／ｑnに対して

［１］λn＝１／ｑn（ｑnα−ｐn）＞√５となること

［２］√５より大きい数に置き換えると無限個に対しては成り立たないことを示す必要がある．

［１］無限個のａnが３以上である場合

　　λn-1＞ａn≧３＞√５

［２］２より大きいａnは有限個だが，２になるａnが無限個ある場合

　　無限個のｎに対してａn+1＝２，ａn≦２，ａn+2≦２であるから

　　λn＝ａn+1＋１／（ａn+2＋１／・・）＋１／（ａn＋１／・・）≧２＋１／３＋１／３＝８／３＞√５

［３］十分大きなｍに対して，ａm＝１である場合

　　ｎ＞ｍにおいて，λn＝［１：１，１，１・・・］＋１／［１：１，１，１・・・，ａ1］

　　ｎ→∞のとき，λn＝φ＋１／φ＝√５

［３］の場合だけが√５より大きい数に置き換えることができない．

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【１】ディリクレの定理

無理数αの近似分数をａ／ｂとすると，

　　｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^2

を満たす有理数ｐ／ｑは無限個存在する（ディリクレの定理）．たとえば，

　　｜√２−４１／２９｜＜１／２９^2.30873＜１／２９^2

　　｜√２−５７７／４０８｜＜１／４０８^2.17296＜１／４０８^2

無限個の有理数で

｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^2

を満たすものが存在するというのは無理数特有の性質といえるが，条件を厳しくすると，たとえば，

　　｜π−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^20

には，有限個の整数解（ｐ，ｑ）しかない．

それでは有限・無限の境界はどこにあるのだろうか？

｜α−ｐ／ｑ｜＜１／ｑ^k

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