【５】背理法を使った無理数性の証明

［１］3√２＝２^1/3は無理数である

　　3√２＝ｐ／ｑ　　　（ｐ，ｑは公約数をもたない）

と書けるとすると，

　　ｐ^3＝２ｑ^3　→　ｐは偶数でなければならない

ｐ＝２ｋと書けるとすると，

　　８ｋ^3＝２ｑ^3　→　４ｋ^3＝ｑ^3　→　ｑは偶数でなければならない．

　ｐ，ｑは公約数２をもつことになり矛盾．よって，3√２は無理数である．

［２］4√５＝５^1/4は無理数である

　√５が無理数であることは既知とする．

　　（4√５）^2＝√５

より，もし4√５が有理数ならば，√５は有理数となるので矛盾．

　無理数の有理数倍，無理数の逆数は無理数であるから

　　５^3/4＝５／５^1/4　→　無理数

　　５^5/4＝５・５^1/4　→　無理数

［３］12√２は無理数である．

　12√２＝ｐ／ｑであると仮定する．

　　12√２＝ｐ／ｑ　→　ｐ^12＝２ｑ^12　→　既約であることに反する

［４］１＋√２は無理数である．

　√２は有理数であると仮定する．

　　√２＝ｐ／ｑ　→　１＋√２＝（ｐ＋ｑ）／ｑも有理数

［５］φ＝（１＋√５）／２は無理数である

　ｘは無理数，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数とする．このとき

　　ｙ＝（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ）

は無理数である．なぜなら．ｙが有理数ならば

　　ｘ＝（ｄｙ−ｂ）／（ａ−ｃｙ）

は有理数となり矛盾が生じる．これよりφは無理数である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝