数の世界は，自然数から負の数へ，有理数から無理数へ，実数から複素数へと拡大してきました．如何にしてその数が発見されたのか，あるいは，数の概念を拡張するのにどれだけ長くかかったかなどは大変興味深いテーマです．

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【１】無理数の発見(ピタゴラス)

ピタゴラス数は

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2

を満たす自然数の三つ組み（ｘ，ｙ，ｚ）のことです．幾何学的には直角三角形の斜辺の長さの２乗は他の２辺の長さの２乗の和に等しいことをいっていて，これを満たす三つ組み（ｘ，ｙ，ｚ）は無限にありますが，最初の１組は（３，４，５）になります．３辺の長さの比が３：４：５の直角三角形は代表的かつ最小のピタゴラス三角形ですから，ピタゴラス三角形の大家族の元祖という意味で，エジプト三角形と呼ばれることもあります．ほかに（５，１２，１３），（７，２４，２５），（２９，４２０，４２１）など

直角二等辺三角形（１，１，ａ）では

　　ａ^2＝１＋１＝２

が成り立ちます．２の平方根は代数方程式ａ^2＝２を満たす正の数ですが，ａは１よりも大きく，２よりも小さいので，分数になるとすると

　　（７／５）^2＝１．９６

　　（７０７／５００）^2＝１．９９９３９６

　　（７０７２／５０００）^2＝２．０００５２７３６

ところが，２乗して２になる分数は存在しないのです．

√２〜１．１４１４２・・・

　　√２〜１．１４１４２１３５６・・・

　　√２〜１．１４１４２１３５６２３７・・・

√２〜１．４１４２１３５６２３７３０９５・・・

と数字は無限につづき，さらに

　　３／７＝０．４２８５７１４２８５７１４２８５７１・・・

（循環節：４２８５７１）のような巡回性もありません．

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