【６】ディオファントス近似の近似精度

　連続する２つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1とすると，それらのうち一方は

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2を満たす．

（証）α−ａn／ｂn，α−ａn+1／ｂn+1は反対符号で，ａnｂn+1−ａn+1ｂn＝（−１）^(n+1)であるから

　　｜α−ａn／ｂn｜＋｜α−ａn+1／ｂn+1｜

　＝｜ａn／ｂn−ａn+1／ｂn+1｜

　＝１／ｂnｂn+1

任意の実数α，βに対してαβ＜（α^2＋β^2）／２であるから

　　１／ｂnｂn+1＜１／（２ｂn^2）＋１／（２ｂn+1^2）

これより題意の結果が得られる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　連続する３つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1，ａn+2／ｂn+2とすると，それらのうち少なくともひとつは

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2

を満たす．

　この結果から

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在するを証明することができる．この定数√５は最良のもので，これより大きな数に置き換えることはできないが，黄金比φのようにαの連分数展開が有限個を除いてすべて１になる無理数を除外すれば，√５の代わりに√８を用いても成り立つ．

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√８ｂ^2

（補）実数ｘ，ｙ，整数ａ，ｂ，ｃ，ｄについて，

　　ｙ＝（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ），ａｄ−ｂｃ＝±１

を満たすものが存在するとき，ｙはｘと対等であるという．黄金比φあるいはφと対等な数の場合√５，対等でないなら√８である．

　次に問題になるのは√２のようなαの連分数展開が有限個を除いてすべて２になる無理数で，それを除くと定理を

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√（２２１／２５）ｂ^2

に改良できる．

　同様の改良を続けていったときの定数√５，√８，√（２２１／２５），・・・がラグランジュ数である．それらは

　　√（９−４／ｍ^2）

において，それぞれｍ＝１，２，５とおいたものである．

　　ｍ＝１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれる．マルコフ数は２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解として現れる．大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式である．

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