素数が無限に存在すること・√２が無理数であることはギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明しています．√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．一般に，ｎが平方数でなければ√ｎは無理数です．今回のコラムでは背理法を使って，無理数性を証明してみることにします．

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【１】ｎが平方数でなければ√ｎは無理数である

　√ｎが有理数であるとし，√ｎ＝ｐ／ｑとおくと，

　　ｐ^2＝ｎｑ^2

が成り立つ．素因数分解ｐ＝ｐ1ｐ2・・・ｐr，ｑ＝ｑ1ｑ2・・・ｑs，ｎ＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ik　　（ｐ1≦・・・≦ｐr，ｑ1≦・・・≦ｑs，ｎ1＜・・・＜ｎk）を代入すれば

　　ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ikｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2

　ｎは平方数ではないから，ｉ1，・・・，ｉkのうち少なくともひとつは奇数，そこでｉlが奇数であるとする．しかし，ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2とｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2に現れるｎlの個数は０または偶数であるから，素因数分解の一意性に矛盾する．

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【２】3√２＝２^1/3は無理数である

　　3√２＝ｐ／ｑ　　　（ｐ，ｑは公約数をもたない）

と書けるとすると，

　　ｐ^3＝２ｑ^3　→　ｐは偶数でなければならない

ｐ＝２ｋと書けるとすると，

　　８ｋ^3＝２ｑ^3　→　４ｋ^3＝ｑ^3　→　ｑは偶数でなければならない

　ｐ，ｑは公約数２をももつことになり矛盾．よって，3√２は無理数である．

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【３】4√５＝５^1/4は無理数である

　√５が無理数であることは既知とする．

　　（4√５）^2＝√５

より，もし4√５が有理数ならば，√５は有理数となるので矛盾．

　無理数の有理数倍，無理数の逆数は無理数であるから

　　５^3/4＝５／５^1/4　→　無理数

　　５^5/4＝５・５^1/4　→　無理数

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【４】φ＝（１＋√５）／２＝２ｃｏｓ３６°は無理数である

　ｘは無理数，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数とする．このとき

　　ｙ＝（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ）

は無理数である．なぜなら．ｙが有理数ならば

　　ｘ＝（ｄｙ−ｂ）／（ａ−ｃｙ）

は有理数となり矛盾が生じる．これよりφは無理数である．

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【５】ｌｏｇ10２は無理数である

　有理数，したがって

　　ｌｏｇ10２＝ｐ／ｑ

と書けると仮定すると

　　ｑｌｏｇ10２＝ｐ→２^q＝１０^p＝２^p・５^p

同じ数について２通りの素因数分解ができることになり矛盾．

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