紀元前320年、アリスタイオスは「５つの正多面体の比較」という本を出し、その中で

「正12面体と正20面体が同一の球に内接するとき、正12面体の５角形と正20面体の３角形は同じ円に内接する」

ことを証明した。

同じく双対の

「正8面体と正6面体が同一の球に内接するとき、正8面体の3角形と正6面体の4角形は同じ円に内接する」

は成り立つこともわかった。

それでは

円に内接する三角形と四角形、球に内接する正八面体と正六面体、

４次元ではどうなるのでしょうか？ (山崎憲久)

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辺の長さ2の正2^2胞体と正2n胞体の外接球の半径は√2：√n

同じ球に内接するとき、辺の長さの比は1/√2：1/√ｎ

辺の長さ2のｎ-1次元正単体の外接球の半径は(2-2/n)^1/2

辺の長さ2のｎ-1次元立方体の外接球の半径は√(n-1)

辺の長さ2/√2のｎ-1次元正単体の外接球の半径は2√{(n-1)/n}

辺の長さ2/√nのｎ-1次元立方体の外接球の半径は2√{(n-1)/n}・・・一致した

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