紀元前320年、アリスタイオスは「５つの正多面体の比較」という本を出し、その中で

「正12面体と正20面体が同一の球に内接するとき、正12面体の５角形と正20面体の３角形は同じ円に内接する」

ことを証明した。計算して確かめてみたい。

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ｄを球の直径、ｓを内接する正多面体の辺の長さとすると

(a)正四面体：d^2=3/2・s^2

(b)正八面体：d^2=2・s^2

(c)立方体：d^2=3・s^2

(d)正20面体：d^2=(5+√5)/2・s^2

(e)正12面体：d^2=3(3+√5)/2・s^2

改めて計算しなおしてみると

(d)正20面体では横幅^2=4φ^2,s^2=3

d^2=4φ^2+（φ^2-2)^2=4φ^2+1/φ^2=4φ+4-φ+2=3φ+6＝3√5φ

d^2/s^2=√5φ＝(5+√5)/2が成り立つ

(e)正12面体では横幅^2=4φ^2,s^2=√5/φ

d^2=4φ^2+（φ^2-2)^2=4φ^2+1/φ^2=4φ+4-φ+2=3φ+6＝3√5φ

d^2/s^2=3φ^2＝3(3+√5)/2が成り立つ

単位円に内接する5角形と3角形の辺の長さはそれぞれ

s12=2sin36＝{(10-2√5)^1/2}/2

s20=2sin60=√3

(5+√5)/2・3=3(3+√5)/2・{(10-2√5)}/4は成り立つだろうか？

(5+√5)=(3+√5)・{(10-2√5)}/4・・・OK

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模型は難しいので、GIF動画にしてみました。　　（山�ｱ　憲久）

多面体木工は一般に立方体からほかの正多面体を削り出しますが、この場合は、球体から一様に小円断面を切り離す操作によって、すべての正多面体を削り出すと想定します。同じ大きさの球体から削り出した正六面体と正八面体、そして正十二面体と正二十面体とが、それぞれ特定の方向から見ると同じ大きさの小円断面からなることがわかります。

[1]球に内接する正20面体

[2]球に内接する正12面体

[3]同じ円に内接する

正20面体と正12面体が同じ球に内接するとき、中身の詰まった球体から小円断面を切り落とすと考えると、２つの立体の各面を含む小円断面は球の中心から同じ距離になる

双対は通常頂点と面心を交換する操作と思われていますが、その際には外接球の大きさが変わってしまいます。ところが外接球の大きさを固定すると、同じ大きさの小円断面を切り取る軸の違い（正六面体：３本と正八面体：４本、正十二面体：６本と正二十面体：１０本）として双対がとらえられると思います。（正四面体の場合は正八面体の場合と同じ４本の軸の正方向と負方向で双対となります。）

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