いまのところ，フェルマー数

　　Ｆn＝２^(2^n)＋１

では，ｎ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．フェルマー数（２^(2^n)＋１）に対してはメルセンヌ数におけるリュカテストと同じくらい能率的なペパンの素数判定法

　　Ｆnが素数　←→　３^{(Fn-1)/2}＝−１（ｍｏｄＦn）

があり，コンピュータを使って６番目のフェルマー素数の探索が続けられているのですが，はたして本当に存在するのでしょうか．

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【１】ランドリーとフェルマー素数

　　Ｆ5＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　　　 ＝（５・２^7＋１）（５２３４７・２^7＋１）

のように，フェルマー数の素因数はすべてｋ・２^(n+2)＋１の形に表されます．

　１８８０年，ランドリーは（８２才という高齢にもかかわらず）

　　Ｆ6＝２７４１７７×６７２８０４２１３１０７２１

　　　 ＝（１０７１・２^8＋１）（２６２８１４１４５７４８・２^8＋１）

となることを示しました．

　オイラーの場合と同様に，ｋに１〜１０まで入れると

　　　　ｋ　　　１＋ｋ・２^8　　　素数

　　　　１　　　　　２５７　　　　○

　　　　２　　　　　５１３　　　　×

　　　　３　　　　　７６９　　　　○

　　　　４　　　　１０２５　　　　×

　　　　５　　　　１２８１　　　　×

　　　　６　　　　１５３７　　　　×

　　　　７　　　　１７９３　　　　×

　　　　８　　　　２０４９　　　　×

　　　　９　　　　２３０５　　　　×

　　　１０　　　　２５６１　　　　×

となります．

　素数の割合は次第に小さくなりますが，

　　２７４１７７＝１０７１・２^8＋１　　　（ｋ＝１０７１）

までこのような作業を続けることは容易ではありませんし，素因数２７４１７７が決して直観でわかるものではないことも理解されます．

　ランドリーがオイラーの1732年にやった方法を踏襲したとはとても思えないのですが，どうやってやったのかまったく予想がつきません．それで，ランドリーがとった戦略がいかなるものか調べてみたのですが，1880年に素因数が判明と記載されているだけで方法までは載っておらず，結局，わからずじまいでした．

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　それに対して，１９０９年，モアヘッドとウェスタンはＦnが３^(Ｆn-1)/2＋１を割り切るとき（そしてそのときに限り）フェルマー素数となること用いて，Ｆ7，Ｆ8が合成数であることを示しました．

　　Ｆ7＝（１１６５０３１０３７６４６４３・２^9＋１）（１１１４１９７１０９５０８８１１４２６８５・２^8＋１）

　　Ｆ8＝（６０４９４４５１４２７７・２^11＋１）（ｋ・２^11＋１）

　　ｋは５９桁の数

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