Ｆn＝２^(2^n)＋１

の形の素数をフェルマー素数といいます．Ｆ0＝３，Ｆ1＝５，Ｆ2＝１７，Ｆ3＝２５７，Ｆ4＝６５５３７２５７は素数であることがわかります．

　３，５，１７が素数であることは明らかですが，たとえば，２５７については√２５７＝１６．０３・・・ですから，これより小さい素数２，３，５，７，１３が２５７を割らないことを確かめればよいことになりますし，６５５３７２５７については，√６５５３７２５７＝２５６．０・・・ですから，今度は２，３，５，・・・，２３３，２３９，２４１，２５１と５５個の素数で６５５３７２５７を割らないことを確かめます．

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　フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．

　　Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝２^32＋１

＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦnが合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ２^(n+2)＋１であることを知っていて，Ｆ5の中の因数６４１＝５・２^7＋１を見つけたのです（１７３２年）．

　ベネットは，実際に割り算することなしにこのことを確認しています．すなわち，

　　６４１＝５^4＋２^4＝５・２^7＋１

　　２^28（５^4＋２^4）／６４１＝２^28　（余り０）

　　（（５・２^7）^4−１）／６４１＝（５・２^7−１）（（５・２^7）^2＋１）　（余り０）

したがって，２^28（５^4＋２^4）−（（５・２^7）^4−１）＝２^32＋１も６４１で割り切れる．

　　Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝２^32＋１

＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

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　１８８０年，ランドリーは（８２才という高齢にもかかわらず）２０桁の

　　Ｆ6＝２^64＋１＝２７４１７７×６７２８０４２１３１０７２１

となることを示しました．

　次のフェルマー数Ｆ7＝２^128＋１は３９桁の数ですが，１９７５年にブリルハートとモリソンがコンピュータを使って，フェルマー数

　　Ｆ7＝５９６４９５８９１２７４９７２１７×５７０４６８９２００６８５１２９０５４７２１，

を発見しましたから，まさにランドリーは素因数分解の達人（根気と労力，忍耐と勇気）ということになります．

　　Ｆ6＝２^64＋１＝２７４１７７×６７２８０４２１３１０７２１

を因数分解したランドリーは

　　２^58＋１＝５×１０７３６７６２９×５３６９０３６８１

も発表しています．

　その数年後，オーリフゥイユは

　　５３６９０３６８１−５×１０７３６７６２９＝２^16

に着目して

　　２^58＋１＝（２^29−２^15＋１）（２^29＋２^15＋１）

であることを発見しました．

　また，リュカはこれを一般化して

　　２^4n+2＋１＝（２^2n+1−２^n+1＋１）（２^2n+1＋２^n+1＋１）

　　４ｘ^4＋１＝（２ｘ^2−２ｘ＋１）（２ｘ^2＋２ｘ＋１），ｘ＝２^n

すなわち，

　　２^58＋１＝（２^29−２^15＋１）（２^29＋２^15＋１）

はｘ＝２^14のときの特別なケースであることを発見しました．

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