ポンスレーの定理においてｎ＝３の場合，一方の円（半径Ｒ）に内接し，もう一方の円（半径ｒ）に外接する三角形は無数にある．これが成り立つための条件は２つの円の中心間距離をｄとして，

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

となることである（オイラーの定理）．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝２ｒが成り立つ．

　四角形やそれ以上のｎ角形についても同様の定理が成り立ち，ひとつの円に内接し，他の円に外接する四（ｎ）角形は無数にある．オイラーの定理のｎ角形版として，フースの定理が知られている．たとえば，内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

が成り立つ．２つの円が同心円ならばｄ＝０であるから，Ｒ＝√２ｒが成り立つ．

　双心四角形の２組の対辺上の内接円の接点を結ぶ線分は互いに直交する．また，フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけている．

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【１】オイラーの定理の証明

　解析幾何学を用いて，オイラーの定理

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

を示す．

　　外接円：ｘ^2＋ｙ^2＝Ｒ^2

　　内接円：（ｘ−ｄ）^2＋ｙ^2＝ｒ^2

　どの点から始めても双心ｎ角形が得られるというポンスレーの閉包定理を用いて，点（Ｒ，０）を通る直線をｙ＝ｍ（ｘ−Ｒ）とおくと，この直線は内接円と接することから，

　　（ｘ−ｄ）^2＋ｍ^2（ｘ−Ｒ）^2＝ｒ^2

　　（１＋ｍ^2）ｘ^2−２（ｄ＋Ｒｍ）ｘ＋ｄ^2−ｒ^2＋ｍ^2Ｒ^2＝０

Ｄ＝０より，

　　ｍ^2＝ｒ^2／（（Ｒ−ｄ）^2−ｒ^2）

　また，この直線が外接円と交わる点のｘ座標はｘ＝ｄ−ｒであるから，

　　ｘ^2＋ｍ^2（ｘ−Ｒ）^2＝Ｒ^2

　　（ｄ−ｒ）^2＋ｍ^2（ｄ−ｒ−Ｒ）^2＝ｒ^2

この式に

　　ｍ^2＝ｒ^2／（（Ｒ−ｄ）^2−ｒ^2）

を代入して整理すると

　　ｒ^2＝（Ｒ−ｒ）^2−ｄ^2

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

が得られる．

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