［Ａ２］この場合は元の三角形が正三角形であるが，またはλ＝１（中点）のときに限ります．もっとも直接初等幾何学的に考えた方が早いかもしれません．

　それに対して［Ａ１］は多彩である．

［Ａ１］ΔＬＭＮの面積／ΔＡＢＣの面積＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）

　　　λ＝２なら１／７，λ＝３なら４／１３

　相似条件式はａ≦ｃ≦ｂまたはｂ≦ｃ≦ａとして

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

になる．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．そしてそれが必要十分条件であり，実際に縮小三角形がもとの三角形と裏返しに相似になる．

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（Ｑ１）三角形ＬＭＮが三角形ＡＢＣと裏返しに相似になっている直角三角形の例を求めよ．

（Ａ１）縮小三角形の相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

である．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．等号を満たすためには

　　ａ≦ｃ≦ｂまたはｂ≦ｃ≦ａ

であることが必要条件になる，

　　　ａ^2＋ｃ^2＝ｂ^2とすると（１＋λ）ａ^2−ｃ^2＝０

　　　λ＝２のとき，ｃ＝√３ａ，ｂ＝２ａ　　　（３辺の比が１：√３：２）

　　　ｂ^2＋ｃ^2＝ａ^2とすると（１＋λ）ｂ^2−λｃ^2＝０

　　　λ＝２のとき，ｃ＝√（３／２）ｂ，ａ＝√（５／２）ｂ　　　（３辺の比が√２：√３：√５）

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（Ｑ２）ａ，ｂ，ｃがすべて整数の例を求めよ．

（Ａ２）不定方程式

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

において，λ＝２のとき，ａ＝１，ｂ＝１１，ｃ＝９がひとつの解であるが，これでは三角形にならない！　ａ^2＋２ｂ^2＝３ｃ^2の整数解を代数幾何的（類体論的？）に求めて，二辺の和は他の一辺よりも長いかどうかを確かめる方が近道と思われる．

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（５，１３，１１），（５，２３，１９），（１９，６１，５１），（１９，７１，５９），（２３，３７，３３），（２５，４７，４１），（２９，５９，５１），（４３，９７，８３），（４７，８３，７３），（５３，７３，６７），（２３，１３，１７），（２５，１１，１７），（２９，１１，１９），（４７，２３，３３），（４７，８３，７３），（５３，３７，４３），（９５，５９，７３），（９５，７３，８１）

などが見つかるが，鋭角三角形になる例に限るとλ＝２，ａ，ｂ，ｃ≦１００の場合だけでも，

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（２３，３７，３３），（２５，４７，４１），（４７，８３，７３），（５３，３７，４３），（５３，７３，６７），（７３，４７，５７），（９５，７３，８１）

の７組が抽出される．

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（Ｑ３）三角形をなす整数（ａ，ｂ，ｃ）は無限にあることを証明せよ．

（Ａ３）まず，

　　Ｃ：　ｘ^2＋λｙ^2＝λ＋１

の有理数解を求める．楕円上の点（１，１）はその解のひとつであるから，Ｃ＼（１，１）∩Ｑ^2とＱとは１：１に対応する．

　点（１，１）を通る傾きμの直線：

　　ｙ＝μ（ｘ−１）＋１

と楕円との交点Ｐは，

　　ｘ^2＋λ（μｘ−μ＋１）^2＝λ＋１

　　（１＋λμ^2）ｘ^2−２λμ（μ−１）ｘ＋λ（μ−１）^2−λ−１＝０

　　（ｘ−１）（（１＋λμ^2）ｘ−λ（μ−１）^2＋λ＋１）＝０

より，

　　Ｐ（（λμ^2−２λμ−１）／（１＋λμ^2），（−λμ^2−２μ＋１）／（１＋λμ^2））

　よって，μ＝ｍ／ｎとおき分母を払うと，

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

の整数解

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（λｍ^2−２λｍｎ−ｎ^2，−λｍ^2−２ｍｎ＋ｎ^2，ｍ^2＋λｎ^2）

を得る．たとえば，λ＝２のとき，

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（２ｍ^2−４ｍｎ−ｎ^2，−２ｍ^2−２ｍｎ＋ｎ^2，ｍ^2＋２ｎ^2）

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