ａ＝ＢＣ，ｂ＝ＣＡ，ｃ＝ＡＢとする．

　　ＡＰ＝（λｃ－ｂ）／（１＋λ）

　　ＢＱ＝（λａ－ｃ）／（１＋λ）

　　ＣＲ＝（λｂ－ａ）／（１＋λ）

　　ＡＮ＝ＡＰ・（１＋λ）／（１＋λ＋λ^2）＝（λｃ－ｂ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＢＬ＝ＢＱ・（１＋λ）／（１＋λ＋λ^2）＝（λａ－ｃ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＣＭ＝ＣＲ・（１＋λ）／（１＋λ＋λ^2）＝（λｂ－ａ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＬＭ＝ＬＢ＋ａ＋ＣＭ＝（λ（ｂ－ａ）－ａ＋ｃ）／（１＋λ＋λ^2）＋ａ＝（λ^2ａ＋λｂ＋ｃ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＭＮ＝ＭＣ＋ｂ＋ＡＮ＝（λ（ｃ－ｂ）－ｂ＋ａ）／（１＋λ＋λ^2）＋ｂ＝（λ^2ｂ＋λｃ＋ａ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＮＬ＝ＮＡ＋ｃ＋ＢＬ＝（λ（ａ－ｃ）－ｃ＋ｂ）／（１＋λ＋λ^2）＋ｃ＝（λ^2ｃ＋λａ＋ｂ）／（１＋λ＋λ^2）

　これらのノルムがａ，ｂ，ｃに比例する．同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

　　ＬＭ：ＭＮ：ＮＬ＝ａ：ｂ：ｃ

　裏返しに相似なとき，

　　ＬＭ：ＭＮ：ＮＬ＝ａ：ｃ：ｂ

　ａ＋ｂ＋ｃ＝０より，これらを解くと相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2－（λ＋１）ｃ^2＝０

になる．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．そしてそれが必要十分条件であり，実際に縮小三角形がもとの三角形と裏返しに相似になる．

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