正三角形の縮小三角形は正三角形であるから簡単に解けるが，一般の三角形の場合でも当該の長さの比は等しくなる．これは一般の三角形を正三角形に射影することによって証明される．それぞれの三角形について検証するのではなく、一つの場合（正三角形）について証明すればよいのである。

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【１】問題

　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

　　λ＝ＣＤ／ＤＢ＝ＡＥ／ＥＣ＝ＳＦ／ＦＡ

［Ｑ］正三角形の縮小三角形は正三角形である．ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作るＰ，Ｑ，Ｒの内分比を１：κとすると

　　κ＝ＥＰ／ＰＢ＝λ^2／（１＋λ）

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【２】証明

　相似比を使って解ける．

　　ＢＥ^2＝１^2＋１／（１＋λ）^2−２・１・１／（１＋λ）ｃｏｓ６０°＝１−１／（１＋λ）＋１／（１＋λ）^2

　△ＢＣＭと△ＢＰＤは相似であるから，

　　ＢＰ＝１／（１＋λ）／ＢＥ

　　ＱＥ＝１／（１＋λ）^2／ＢＥ

　　ＰＱ＝ＢＥ−１／（１＋λ）／ＢＥ−１／（１＋λ）^2／ＢＥ

　　ＥＰ＝ＢＥ−１／（１＋λ）／ＢＥ

　　ＥＰ／ＰＢ＝（１＋λ）ＢＥ^2−１＝λ^2／（１＋λ）

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【３】発展

　正三角形の縮小三角形は正三角形であるから簡単に解けたが，一般の三角形の場合の定理を使ってみたい．

　一般に与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3−１）^2／（λ^2＋λ＋１）^3＝（λ−１）^3／（λ^3−１）

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／７．

［証］主要な点の重心座標はＤ（０，λ，１），Ｅ（１，０，λ），Ｆ（λ，１，０）

直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの方程式はそれぞれｙ／λ＝ｚ，ｚ／λ＝ｘ，ｘ／λ＝ｙ．これらの交点としてＰ（λ，１，λ^2），Ｑ（λ^2，λ，１），Ｒ（１，λ^2，λ）　　　（いずれも重心座標の比のみ）

　ΔＰＱＲの面積／ΔＡＢＣの面積＝［λ，１，λ^2］／（λ^2＋λ＋１）^3

　　　　　　　　　　　　　　　　　［λ^2，λ，１］

　　　　　　　　　　　　　　　　　［１，λ^2，λ］

＝（λ−１）^2／（λ^2＋λ＋１）

　　　λ＝２なら１／７，λ＝３なら４／１３

に等しい．

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　ΔＰＱＲがΔＡＢＣと相似とすると，面積の関係から長さの相似比は　　　（λ−１）／√（λ^2＋λ＋１）

である．

　もとの正三角形の１辺の長さを１とすると，縮小三角形の１辺の長さＰＱは

　　（λ−１）／√（λ^2＋λ＋１）

というわけである．

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【４】さらなる発展

　与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／３．

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