三角形XYZと三角形xyzの頂点をそれぞれ対応させると、それぞれ同一挑戦状にあるが、それらを延長させると延長戦の交点は１点で交わる。

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【１】射影幾何学におけるパップスの定理とデザルグの定理

［１］パップスの定理

　直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃ，もう一つの直線上に３点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとる．ＡＢ’とＡ’Ｂの交点をＰ，ＢＣ’とＢ’Ｃの交点をＱ，ＡＣ’とＡ’Ｃの交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．

　すなわち，２直線上にすべての頂点がのっている６角形の反対側の位置にある辺同士の交点は同一直線上にあるというのが，射影幾何学におけるパップスの定理である．

　パスカルの定理は円錐曲線が既約でない場合にも成り立つといわけで，これを発見したのもパップスである．直線は無限半径をもつ円であるが，２本の直線からなる退化した円錐曲線を考えれば容易にこの定理にたどりつくであろう．

［２］デザルグの定理

　△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’において，ＡＡ’とＢＢ’とＣＣ’が点Ｏで交わるとする．ＡＢとＡ’Ｂ’の交点をＰ，ＢＣとＢ’Ｃ’の交点をＱ，ＡＣとＡ’Ｃ’の交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．

　透視図法で移り合う２つの三角形について，対応する辺の交点はすべて１直線上にあるというのがデザルグの定理である．平行でない直線は有限の点で交わるが，平行な直線群は同じ無限遠点で交わる．無限遠直線を導入すると，任意の２直線は必ず交わることになるのである．

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　１８９９年，ヒルベルトは代数学から幾何学への貢献となる素晴らしい発見をしています．

　　パップスの定理が成立する←→多元数系は可換

　　デザルグの定理が成立する←→多元数系は結合的

　パップスは体積と重心に関するパップス・ギュルダンの定理，三角形についてのパップスの中線定理，射影幾何学におけるパップスの定理にその名を残しているのですが，ここでいうパップスの定理とは射影幾何学における定理を指します．また，デザルグの定理もヒルベルトにより射影幾何学のカギとなる定理であることが示されたというわけです．

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