それに対して，関数ｆ（ｘ）＝ｘ^xはｘ≧０で定義されます．

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［補題］関数ｙ＝ｘ^xを微分せよ．

ｌｏｇｙ=ｌｏｇｘ^x＝ｘｌｏｇｘ

　　（ｘｌｏｇｘ）’＝ｌｏｇｘ＋１

　　ｙ’＝ｙ（ｌｏｇｘ＋１）＝（ｌｏｇｘ＋１）ｘ^x

したがって，ｘ^xは０＜ｘ＜１／ｅでは単調減少，ｘ＞１／ｅでは単調増加．ｘ＝１／ｅのとき，最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．９６２２・・・をとる（誤り）．また，ｔ・ｌｏｇｔはｔ→０のとき０となるから，

　　ｘ^x→１　　（ｘ→０）

ｙ＝ｘ^x=eの解はx=exp(Ω)

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ｙ＝ｘ^xの最小点

最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．６９２２０００・・・をとる．

ｙ＝ｘ^1/xの最大点

（ｅ）^1/e≧（ｘ）^1/x

ｙ＝ｘ^x^x^x^x^・・・

（１／ｅ）^e＝ｅ^-e＝０．０６５９８８・・・はこの関数が有限値に収束するｘの最小値である。

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z1=z,zn+1=z^(zn)

開始値を（１／ｅ）^e＝ｅ^-e＝０．０６５９８８・・・より大きい値にすれば指数タワーｙ＝ｘ^x^x^x^x^・・・は発散する。

開始値をｅ^-eにした場合も面白い現象がみられる

開始値を（１／ｅ）^e＝ｅ^-e＝０．０６５９８８・・・と（ｅ）^1/e＝１．４４４６６７８６１・・・の間にあれば指数タワーの極限が存在する

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