「５次元正多胞体は３個より多くは存在しない」ことを証明してみよう。

少なくとも3つの胞が1つの面に集まらなければならない。

1つの面に集まる二胞角の総計は360°より小さくならなければならないからだ。

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正五胞体の二面角はcosδ= 1/4、δ= 75.52°である

3個、4個の正五胞体を一つの面に集めることはできるが、5個はできない

正八胞体の二面角はcosδ= 0、δ= 90°である

3個の正八胞体を一つの面に集めることはできるが、4個はできない

正16胞体の二面角はcosδ= -1/2、δ= 120°である

正24胞体の二面角はcosδ= -1/2、δ= 120°である

正120胞体の二面角はcosδ= = -(1+√5)/4、δ= 144°である

正600胞体の二面角はcosδ= = -(1+3√5)/8、δ= 164.48 °である

3個の正ｘ胞体を一つの面に集めることはできない

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こうして正単体、正軸体、立方体の存在が説明される

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