ｘ≧０について，ｅ^x≧ｘ^eが成り立つ．　　（等号はｘ＝ｅのとき）

（証）ｙ＝ｘ^eｅ^-x　　（ｘ≧０）とする．

　　ｄｙ／ｄｘ＝（ｅｘ^e-1−ｘ^e）ｅ^-x

　　ｄ^2ｙ／ｄｘ^2＝（ｅ（ｅ−１）ｘ^e-2−２ｅｘ^e-1＝ｘ^e）ｅ^-x

よりｘ^eｅ^-x≦１．　　（ｘ＝ｅのときｙ＝１）

　実際，

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

となり両者は驚くほど近いが，ｙのグラフを描いてみればｙは幅のある最大値をもち，２つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである．

　ところで，ｙ＝ｘ^eｅ^-xのグラフはα＝ｅ＋１，β＝１のガンマ分布の確率密度関数（の定数倍）になる．

　　α＝ｅ＋１，β＝１

　　mean=ｅ＋１，variance=ｅ，mode=ｅ

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