０^0は不定形である．ただし，ｔ・ｌｏｇｔはｔ→０のとき０となる．したがって，

　　ｌｉｍｘ^x＝１　　（ｘ→０）

である，

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［Ｑ］ｙ＝ｘ^xの最小値を求めよ．

［Ａ］ｌｏｇｘ^x＝ｘｌｏｇｘ

　　（ｘｌｏｇｘ）’＝ｌｏｇｘ＋１＝ｌｏｇ（ｘｅ）

　　ｙ’＝ｙｌｏｇ（ｘｅ）

　したがって，ｘ^xは０＜ｘ＜１／ｅでは単調減少，ｘ＞１／ｅでは単調増加．ｘ＝１／ｅのとき，最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．９６２２・・・をとる．

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［Ｑ］∫(0,1)ｘ^xｄｘ＝１−１／２^2＋１／３^3−１／４^4＋１／５^5−１／６^6＋・・・を示せ．

［Ａ］ｘ^x＝ｅｘｐ（ｘｌｏｇｘ）＝Σ（ｘｌｏｇｘ）^n／ｎ！

　　∫ｘ^xｄｘ＝∫ｅｘｐ（ｘｌｏｇｘ）ｄｘ＝Σ１／ｎ！∫（ｘｌｏｇｘ）^nｄｘ＝・・・

＝Σ（−１）^n-1／ｎ^n＝１−１／２^2＋１／３^3−１／４^4＋１／５^5−１／６^6＋・・・

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　同様にして

　　∫(0,1)１／ｘ^xｄｘ＝１＋１／２^2＋１／３^3＋１／４^4＋１／５^5＋１／６^6＋・・・

も成り立つ．

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