■メルセンヌ擬素数(その68)
1772年,オイラーはx^2+x+41が0≦x≦39の40個の値に対してすべて素数値をとることを発見しました.
たとえば,x=10→x^2+x+41=151
√151=12.28
したがって,11までの素数で割り切れないことを確かめればよいことになります.
x=39→x^2+x+41=1601
√1601〜40
一般に,x^2+x+kが0≦x≦k−2のk−1個の値に対してすべて素数値をとることを確かめるには
x=k−2→x^2+x+k=(k−2)^2+k−2+k=k^2−2k+2
√(k^2−2k+2)〜k−1
したがって,k−1までの素数で割り切れないことを確かめればよいことになります.
しかし,実際には,オイラーの素数生成式「n^2+n+kがn=0〜k-2のとき素数になるには、0≦n≦√(k/3)のとき素数になることが必要十分だとわかっている」
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